Quesito 8 P.N.I. 2013

Si mostri, senza utilizzare il teorema di l’Hopital, che

    \[ \lim_{x \to \pi } \frac {e^{senx}-e^{sen(\pi)}}{x-\pi}=-1\]

.

 

    \[ \lim_{x \to \pi } \frac {e^{senx}-e^{sen(\pi)}}{x-\pi}=\lim_{x \to \pi } \frac {e^{senx}-1}{x-\pi}.\]

Imponiamo la condizione:

x- \pi=t

x=t+\pi

Avremo quindi:

    \[ \lim_{t \to 0 }  \frac {e^{sen(t+\pi)}-1}{t}=\lim_{t \to 0 }  \frac {e^{sen(-t)}-1}{t}=\]

    \[\lim_{t \to 0 }  \frac {e^{\frac {sen(-t)}{-t}(-t)}-1}{t}=\lim_{t \to 0 }  \frac {e^{-t}-1}{t}=\]

    \[\lim_{t \to 0 }  \frac {e^{-t}-1}{t}=-1\]

.

 

 

 

 

 

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