Problema 1 Scientifico 2013

La funzione f è definita da f(x)=\int_0^x [ cos(\frac t2 + \frac 12) ] dt per tutti i numeri reali x appartenenti
all’intervallo chiuso [0, 9].

 

  1. Si calcolino f '(\pi ) e f '(2\pi ) ove f ' indica la derivata di f .
  2. Si tracci, in un sistema di coordinate cartesiane, il grafico Σ di f '(x) e da esso si deduca per quale o quali valori di x , f (x) presenta massimi o minimi. Si tracci altresì l’andamento di f (x) deducendolo da quello di f '(x) .
  3. Si trovi il valor medio di f '(x) sull’intervallo [0, 2\pi ].
  4. Sia R la regione del piano delimitata da Σ e dall’asse x per 0 \leq x \leq 4;  R è la base di un solido W le cui sezioni con piani ortogonali all’asse x hanno, per ciascun x , area A(x )=3sen(\frac {\pi}{4}x). Si calcoli il volume di W.

 

 

 

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