Quesito 10 P.N.I. 2014

Si determinino per quali valori reali di a e b, si ha:

    \[\lim_{x \to 0} \frac {\sqrt{a+bx}-2}{x}=1\]

 

Risposta dello staff

Visto che x \to 0, allora dobbiamo necessariamente ipotizzare che a \geq 0, altrimenti la radice perde di significato.

Analizzando solo il numeratore, per x=0, rimane solo \sqrt a -2.

Quindi, per confrontare gli zeri, imponiamo a=4, da cui:

    \[\lim_{x \to 0} \frac {\sqrt{4+bx}-2}{x}=\lim_{x \to 0} \frac {\sqrt{4+bx}-2}{x}\frac {\sqrt{4+bx}+2}{\sqrt{4+bx}+2}=\]

    \[=\lim_{x \to 0} \frac {4+bx-4}{x(\sqrt{4+bx}+2)}=\lim_{x \to 0} \frac {b}{(\sqrt{4+bx}+2)}\]

Imponiamo l’uguaglianza richiesta dalla traccia e ricaviamo b:

    \[\lim_{x \to 0} \frac {b}{(\sqrt{4+bx}+2)}=1\]

    \[\frac {b}{4}=1\]

    \[b=4\]

 

 

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