Quesito 6 P.N.I. 2014

Si calcolino l’altezza e il raggio del massimo cilindro circolare retto inscritto in una sfera di raggio \sqrt 3 .

 

Risposta dello staff

 

Supponendo che il cilindro abbia altezza h e raggio di base r. Si ha:

    \[r^2=3-\frac {h^2}{4}\]

per il teorema di Pitagora, applicato al triangolo.

A questo punto, il volume del cilindro sarà facile da calcolare in quanto:

    \[V=\pi r^2h=\pi\left(3-\frac {h^2}{4}\right)h\]

Calcoliamo la derivata e otteniamo:

    \[V'=\pi\left(3-\frac {h^2}{4}\right)-\pi\frac {h^2}{2}=3\pi\left(1-\frac 14 h^2\right)\]

Ponendo la derivata prima uguale a 0 per ricavare il massimo, otteniamo:

    \[V'=0 \iff 3\pi\left(1-\frac 14 h^2\right)=0\]

    \[h^2=4 \iff h= \pm2\]

Ovviamente essendo l’altezza una misura, questa non può essere negativa e quindi:

h=2

r=\sqrt 2

 

 

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