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Alessandro scrive: problemi sull’ellisse

Oggetto: quesiti e problemi sull’ellisse riferita al centro e agli assi

Corpo del messaggio:
Un’ellisse ha per vertici i punti (-5;0) e (5;0) e per fuochi i punti (-4;0) e (4;0). Determina la misura dell’area del rettangolo, inscritto nell’ellisse, con un lato sulla retta di equazione x=2.  Mi servirebbe la soluzione entro questo giovedì, grazie.

Risposta dello staff

L’equazione di un ellisse è:

\frac {x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}=1

dove, dal passaggio dei punti avremo:

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Assunta scrive: Esercizio con punti di circonferenza, ellisse e iperbole

Oggetto: Esercizio con punti di circonferenza, ellisse e iperbole

Corpo del messaggio:
Potreste gentilmente svolgermi questo testo? Anche solo le tracce se potete, graazieeeee

esercizio

 

 

Risposta dello staff

 

link esercizio1

link esercizio2

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Assunta scrive: esercizio 1

Data l’ellisse di equazione:

\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1

si trovi l’equazione della parabola avente per asse l’asse delle y, che interseca l’ellisse nel suo punto di intersezione con il semiasse negativo delle y e che passa per i fuochi F_1 e F_2 dell’ellisse.

Risposta dello staff

Sapendo che la parabola ha come asse l’asse delle ordinate, possiamo subito assumere che la parabola sia del tipo:

y=ax^2+c.

Ora, l’ellisse intersecherà il semiasse negativo delle y nel punto (0;-3).

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Salvatore scrive: Problemi sull’ellisse

Oggetto: Problemi sull’ellisse

Corpo del messaggio:

CAM00276

 

Dalla traccia sapremo che la retta sarà condotta da un punto P(k,3) con k>0.

Ricaviamo k imponendo il passaggio per l’ellisse:ù

k^2+27=36

k^2=9

k=\pm 3.

Quindi avremo che P avrà coordinate (3,3).

Da qui, sapendo che la formula dell’equazione della retta tangente all’ellisse passante per P sarà:

    \[\frac {xx_P}{a^2}+\frac {yy_P}{b^2}=1\]

otteniamo:

    \[\frac {3x}{36}+\frac {3y}{12}=1\]

    \[x+3y=12\]

    \[x+3y-12=0\]

 

 

 

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Alessandro scrive: Equazione dell’ellisse

Oggetto: Problemi sull’ellisse

Corpo del messaggio:
CAM00274

 

Per ogni esercizio andremo a mettere a sistema le due equazioni:

    \[\begin {cases} 4x^2+9y^2=36 \\ x-y-7=0\end{cases}\]

    \[\begin {cases} 4(y+7)^2+9y^2=36 \\ x=y+7\end{cases}\]

    \[\begin {cases} 4y^2+56y+196+9y^2-36=0 \\ x=y+7\end{cases}\]

    \[\begin {cases} 13y^2+56y+160=0 \\ x=y+7\end{cases}\]

Calcoliamo il \frac {\Delta}{4}:

\frac {\Delta}{4}=784-2080<0

Quindi, essendo il \Delta<0, la retta sarà esterna all’ellisse.

    \[\begin{cases} 16x^2+25y^2=100 \\ x-2=0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} 64+25y^2=100 \\ x=2 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} 25y^2=36 \\ x=2 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} y=\pm \frac 65 \\ x=2 \end{cases}\]

Si nota subito che la retta sarà secante nei 2 punti trovati nel sistema.

    \[\begin{cases} 81x^2+196y^2=441 \\ 2y+3=0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} 81x^2+196y^2=441 \\ y=-\frac 32 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} 81x^2+441=441 \\ y=-\frac 32 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} 81x^2=0 \\ y=-\frac 32 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x=0 \\ y=-\frac 32 \end{cases}\]

Avendo due punti coincidenti, la retta sarà tangente nel punto trovato.

    \[\begin {cases} x^2+4y^2=40 \\ x+6y-20=0\end{cases}\]

    \[\begin {cases} (20-6y)^2+4y^2=40 \\ x=20-6y\end{cases}\]

    \[\begin {cases} 400-240y+36y^2+4y^2=40 \\ x=20-6y\end{cases}\]

    \[\begin {cases} 40y^2-240y+360=0 \\ x=20-6y\end{cases}\]

    \[\begin {cases} y^2-6y+9=0 \\ x=20-6y\end{cases}\]

    \[\begin {cases} (y-3)^=0 \\ x=20-6y\end{cases}\]

    \[\begin {cases} y=3 \\ x=20-18\end{cases}\]

    \[\begin {cases} y=3 \\ x=2\end{cases}\]

Avendo due punti coincidenti, la retta sarà tangente nel punto trovato.

    \[\begin {cases} 4x^2+21y^2=85 \\ 2x-9y-17=0\end{cases}\]

    \[\begin {cases} 4x^2+21y^2=85 \\ x=\frac {9y+17}{2}\end{cases}\]

    \[\begin {cases} (9y+17)^2+21y^2=85 \\ x=\frac {9y+17}{2}\end{cases}\]

    \[\begin {cases} 81y^2+306y+289+21y^2=85 \\ x=\frac {9y+17}{2}\end{cases}\]

    \[\begin {cases} 102y^2+306y+204=0 \\ x=\frac {9y+17}{2}\end{cases}\]

    \[\begin {cases} y^2+3y+2=0 \\ x=\frac {9y+17}{2}\end{cases}\]

    \[\begin {cases} (y+2)(y+1)=0 \\ x=\frac {9y+17}{2}\end{cases}\]

    \[\begin {cases} y_1=-2 \quad y_2=-1 \\ x_1=-\frac {1}{2} \quad x_2=4\end{cases}\]

La retta sarà secante e avrà i due punti trovati come punti di intersezione.

 

 

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