Alessandro scrive: Equazione dell’ellisse

Oggetto: Problemi sull’ellisse

Corpo del messaggio:
CAM00274

 

Per ogni esercizio andremo a mettere a sistema le due equazioni:

    \[\begin {cases} 4x^2+9y^2=36 \\ x-y-7=0\end{cases}\]

    \[\begin {cases} 4(y+7)^2+9y^2=36 \\ x=y+7\end{cases}\]

    \[\begin {cases} 4y^2+56y+196+9y^2-36=0 \\ x=y+7\end{cases}\]

    \[\begin {cases} 13y^2+56y+160=0 \\ x=y+7\end{cases}\]

Calcoliamo il \frac {\Delta}{4}:

\frac {\Delta}{4}=784-2080<0

Quindi, essendo il \Delta<0, la retta sarà esterna all’ellisse.

    \[\begin{cases} 16x^2+25y^2=100 \\ x-2=0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} 64+25y^2=100 \\ x=2 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} 25y^2=36 \\ x=2 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} y=\pm \frac 65 \\ x=2 \end{cases}\]

Si nota subito che la retta sarà secante nei 2 punti trovati nel sistema.

    \[\begin{cases} 81x^2+196y^2=441 \\ 2y+3=0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} 81x^2+196y^2=441 \\ y=-\frac 32 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} 81x^2+441=441 \\ y=-\frac 32 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} 81x^2=0 \\ y=-\frac 32 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x=0 \\ y=-\frac 32 \end{cases}\]

Avendo due punti coincidenti, la retta sarà tangente nel punto trovato.

    \[\begin {cases} x^2+4y^2=40 \\ x+6y-20=0\end{cases}\]

    \[\begin {cases} (20-6y)^2+4y^2=40 \\ x=20-6y\end{cases}\]

    \[\begin {cases} 400-240y+36y^2+4y^2=40 \\ x=20-6y\end{cases}\]

    \[\begin {cases} 40y^2-240y+360=0 \\ x=20-6y\end{cases}\]

    \[\begin {cases} y^2-6y+9=0 \\ x=20-6y\end{cases}\]

    \[\begin {cases} (y-3)^=0 \\ x=20-6y\end{cases}\]

    \[\begin {cases} y=3 \\ x=20-18\end{cases}\]

    \[\begin {cases} y=3 \\ x=2\end{cases}\]

Avendo due punti coincidenti, la retta sarà tangente nel punto trovato.

    \[\begin {cases} 4x^2+21y^2=85 \\ 2x-9y-17=0\end{cases}\]

    \[\begin {cases} 4x^2+21y^2=85 \\ x=\frac {9y+17}{2}\end{cases}\]

    \[\begin {cases} (9y+17)^2+21y^2=85 \\ x=\frac {9y+17}{2}\end{cases}\]

    \[\begin {cases} 81y^2+306y+289+21y^2=85 \\ x=\frac {9y+17}{2}\end{cases}\]

    \[\begin {cases} 102y^2+306y+204=0 \\ x=\frac {9y+17}{2}\end{cases}\]

    \[\begin {cases} y^2+3y+2=0 \\ x=\frac {9y+17}{2}\end{cases}\]

    \[\begin {cases} (y+2)(y+1)=0 \\ x=\frac {9y+17}{2}\end{cases}\]

    \[\begin {cases} y_1=-2 \quad y_2=-1 \\ x_1=-\frac {1}{2} \quad x_2=4\end{cases}\]

La retta sarà secante e avrà i due punti trovati come punti di intersezione.

 

 

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