Esercizio 13 Problemi sui teoremi di Euclide

Traccia

In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è di 6 cm e le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa differiscono di $6\sqrt5$ cm. Determinare l’area del triangolo.

Svolgimento

Evito di fare figure geometriche in modo da rendere più leggera l’esercizio. Supponiamo il triangolo sia retto in A, e quindi sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa BC.

Poniamo $BH=x$ e avremo:

$AH=6 \mbox { cm}$

$CH=x+6\sqrt 5\mbox { cm}$

Ora, sfruttando il secondo teorema di Euclide, ricaviamo subito il valore dell’incognita:

$BH \cdot CH= AH^2$

$x(x+6\sqrt 5)=36$

$x^2+6x\sqrt5-36=0$

Risolviamo l’equazione di secondo grado:

$x_{\frac 12}=\frac {-6\sqrt 5 \pm \sqrt {180+144}}{2}=\frac {-6\sqrt 5 \pm \sqrt {324}}{2}=\frac {-6\sqrt 5 \pm 18}{2}=-3\sqrt 5 \pm 9$

$x_1= (-3\sqrt 5 -9) \mbox { cm}$

$x_2= (9-3\sqrt 5) \mbox { cm}$ .

Ovviamente la prima soluzione non è accettabile in quanto un lato non può avere misura negativa. Quindi:

$BH=(9-3\sqrt 5) \mbox { cm}$

$CH= (9+3\sqrt 5) \mbox { cm}$ .

L’ipotenusa quindi sarà:

$BC=BH+CH=18 \mbox { cm}$

L’area sarà immediatamente calcolabile:

$A=\frac {BC \cdot AH}{2}= \frac {18 \cdot 6}{2}\mbox { cm}^2=54 \mbox { cm}^2$ .

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