Esercizio 24 Problemi sui teoremi di Euclide

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Traccia

Un triangolo isoscele è inscritto in una circonferenza di raggio 75 cm e la sua altezza è i 16/25 del diametro. Determinare i lati del triangolo.

Svolgimento

Senza bisogno di far figure possiamo vedere come se, prolungassimo l’altezza del triangolo isoscele, questa sarebbe proprio il diametro della circonferenza, così da formare, tracciando il segmento dal vertice della base, al punto di intersezione tra la circonferenza e il prolungamento dell’altezza, un triangolo rettangolo.

Sia quindi, il triangolo isoscele ABC, di base BC, AH l’altezza e DH il prolungamento dell’altezza.

Avremo che:

AD=2r=150 \mbox { cm}

AH= \frac {16}{25}2r=\frac {16}{25}150 \mbox { cm}=96 \mbox { cm}

DH=(150-96) \mbox { cm}=54 \mbox { cm}.

Possiamo quindi ricavare il lato del triangolo isoscele con il primo teorema di Euclide:

AB^2= AH \cdot AD

AB=\sqrt {96 \cdot 150} \mbox{ cm}=\sqrt {1440} \mbox{ cm}=120\mbox{ cm}.

Per trovare la base useremo il secondo teorema di Euclide, che ci permetterà di trovare metà base, e poi moltiplicheremo per 2:

BH^2=AH \cdot DH

BH= \sqrt {96 \cdot 54} \mbox{ cm}=\sqrt {5184} \mbox{ cm}=72 \mbox{ cm}

Quindi:

BC=2BH=144 \mbox{ cm}

 

 

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