Esercizio 14 Problemi sui teoremi di Euclide

Traccia

I cateti AB e AC di un triangolo rettangolo soddifsano la relazione 2AB+AC=2a. Sia E il punto in cui la retta AB incontra la perpendicolare in C all’ipotenusa. Sapendo che BE=a, determinare i cateti AB e AC del triangolo considerato.

Svolgimento

Evito di fare figure geometriche in modo da rendere più leggera l’esercizio.

Se avete fatto bene il disegno, dovreste avere un grande triangolo rettangolo, ECB, e AC risulterà essere l’altezza relativa all’ipotenusa BE.

Poniamo $AB=x$

Avremo:

$AC=2a-2x$

$AE=a-x$

Sfruttando il secondo teorema di Euclide, ricaviamo il valore dell’incognita:

$AC^2=AB \cdot AE$

$(2a-2x)^2=x (a-x)$

$4a^2-8ax+4x^2=ax-x^2$

$5x^2-9ax+4a^2=0$

Risolviamo l’equazione di secondo grado:

$x_{\frac 12}=\frac {9a \pm \sqrt {81a^2-80a^2}}{10}=\frac {9a \pm \sqrt {a^2}}{10}=\frac {9a \pm a}{10}$

$x_1= \frac 45 a$

$x_2= a$ .

Ovviamente la seconda soluzione non è accettabile in quanto, a quel punto, il vertice E coinciderebbe col vertice A. Quindi:

$AB=\frac 45a$

$AC= 2a-2\frac 45 a=\frac {10-8}{5}a=\frac 25a$ .

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