Esercizio 16 Problemi sui teoremi di Euclide

Traccia

Inscrivere in un semicerchio, il cui raggio è di 9 cm, un triangolo rettangolo, avente per ipotenusa il diametro, in modo che il rapporto tra un cateto e la sua proiezione sull’ipotenusa sia $\frac 23 \sqrt 3$ .

Svolgimento

Evito di fare figure geometriche in modo da rendere più leggera l’esercizio.

Chiamiamo con BC il diametro della semicirconferenza dimodochè sia ABC il triangolo retto in A, e sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa.

Avremo che, ponendo

$BH=x$ ,

$BC=18 \mbox { cm}$

$AB=\frac 23 \sqrt 3 x$

Dal primo teorema di Euclide possiamo subito ricavare l’incognita:

$AB^2=BH \cdot BC$

$\frac 49 \cdot 3 x^2=18x$

$\frac 43 x^2-18x=0$

$2x(2x-27)=0$

Ovviamente $x=0$ non sarebbe accettabile come soluzione quindi avremo solo:

$x= \frac {27}{2}$

Troviamo quindi il cateto:

$AB=\frac 23 \sqrt 3 \frac {27}{2} \mbox { cm}=9\sqrt 3 \mbox { cm}$ .

Ricaviamo il secondo cateto col teorema di Pitagora:

$AC=\sqrt {BC^2-AB^2}=\sqrt {324-243} \mbox { cm}=\sqrt {81} \mbox { cm}=9 \mbox { cm}$ .

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