Esercizio 23 Problemi sui teoremi di Euclide

Traccia

Dopo aver calcolato la misura della base di un triangolo isoscele, di altezza lunga 96 cm, circoscritto a un cerchio il cui raggio è di 21 cm, determinare la misura del raggio del cerchio circoscritto al triangolo.

Svolgimento

Per risolvere questo problema bisogna innanzitutto ricordarsi la relazione per cui, in un triangolo circoscritto ad una circonferenza, il raggio è:

$r=\frac {A}{p}$ .

Sia quindi il triangolo ABC isoscele sulla base BC.

$AB=AC$ .

Sia AH l’altezza, e poniamo

$BH=x$

$BC=2x$

e quindi, per il teorema di Pitagora,

$AC^2=AH^2+BH^2=96^2+x^2$ .

$A=\frac {b \cdot h}{2}=\frac {BC \cdot AH}{2}=96x$

$2p=2AC+BC=2\sqrt {96^2+x^2}+2x$

$p=\sqrt {96^2+x^2}+x$

Riscriviamo la formula del raggio:

$r=\frac {A}{p}$

$21=\frac {96x}{\sqrt {96^2+x^2}+x}$

$21\sqrt {96^2+x^2}+21x=96x$

$7\sqrt {96^2+x^2}=25x$

$49(9216+x^2)=625x^2$

$451584+49x^2=625x^2$

$576x^2=451584$

$x^2=784$

$x=28$

Dopo tutti questi calcoli, finalmente otteniamo la base:

$BC=2x=56 \mbox { cm}$

Per trovare il raggio del cerchio circoscritto invece, basterà prolungare l’altezza fino alla circonferenza, in modo da ottenere un triangolo rettangolo inscritto in una semicirconferenza.

Sia D il punto di intersezione, e quindi ABD retto in B.

Sfruttando il secondo teorema di Euclide avremo:

$DH=\frac {BH^2}{AH}=\frac {784}{96} \mbox { cm}=\frac {49}{6} \mbox { cm}$

Il raggio della circonferenza circoscritta sarà quindi:

$r= \frac 12 AD=\frac 12 (96+\frac {49}{6})=\frac 12 \cdot \frac {625}{6} \mbox { cm}=\frac {625}{12} \mbox { cm}$

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