Esercizio 2 Problemi sui teoremi di Euclide

Traccia

In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 45 cm e la sua proiezione sull’ipotenusa è i 9/16 della proiezione dell’altro cateto sull’ipotenusa. Trovare perimetro e area del triangolo. (Indicare con x la misura della proiezione…)

Svolgimento

Evito di fare figure geometriche in modo da rendere più leggero l’esercizio. Supponiamo che $ABC$ sia il triangolo rettangolo, retto in A, ed AH sia l’altezza relativa all’ipotenusa.

$AB=45 \mbox { cm }$

$BH =\frac {9}{16} CH$

$BC=CH+BH=\frac {25}{16}CH$

Poniamo $CH=x$

Applichiamo il 1° teorema di Euclide per trovare i due cateti in funzione della proiezione:

$AB^2=BH \cdot BC$

$AB^2=\frac {9 }{16} x \cdot \frac {25}{16}x$

$AB^2=\frac {225}{256} x^2$

$AB=\frac {15}{16}x$

$x=\frac {16}{15} \cdot 45 \mbox { cm }= 48 \mbox { cm }$

Da qui possiamo ricavare il resto:

$BC= \frac {25}{16}x = \frac {25}{16} \cdot 48\mbox { cm } =75 \mbox { cm }$

Usiamo il primo teorema di Euclide per trovare l’altro cateto:

$AC^2=CH \cdot BC$

$AC^2=48 \cdot 75 \mbox { cm}^2$

$AC^2 = 3600 \mbox { cm}^2$

$AC=60 \mbox { cm }$

Quindi:

$2p= (45+60+75) \mbox { cm }=180 \mbox { cm }$

$A= \frac {AC \cdot AB}{2}=\frac {45 \cdot 60}{2} \mbox { cm}^2= 1350 \mbox { cm}^2$

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