Esercizio 19 Problemi sui teoremi di Euclide

Traccia

Nel triangolo rettangolo ABC la proiezione HB del cateto AB sull’ipotenusa BC misura 4a. Sapendo che 2HC-.AB=HB, si determini la misura del perimetro del triangolo ABC. ( se si pone AB=x, si trova l’equazione $x^2-2ax-24a^2=0$ …)

Svolgimento

Evito di fare figure geometriche in modo da rendere più leggera l’esercizio.

Poniamo, come da suggerimento, $AB=x$ .

Avremo:

$HB=4a$

$HC=\frac 12 (4a+x)$ .

$BC=4a+2a+\frac 12x=6a+\frac 12x$

Usiamo il primo teorema di Euclide per trovare il valore dell’incognita:

$AB^2=BH \cdot BC$

$x^2=4a(6a+\frac 12x)$

$x^2=24a^2+2ax$

$x^2-2ax-24a^2=0$

Risolviamo l’equazione di secondo grado:

$x_{\frac 12}= \frac {2a \pm \sqrt {4a^2+96a^2}}{2}=\frac {2a \pm \sqrt {100a^2}}{2}=\frac {2a \pm 10a}{2}=a \pm 5a$

$x_1=-4a$

$x_2=6a$

Da qui notiamo che la prima soluzione non è accettabile in quanto una misura di un lato non può essere negativa.

Quindi avremo:

$AB=6a$

$BC=9a$

$HC=5a$

Troviamo il secondo cateto con Euclide:

$AC^2= CH \cdot CB$

$AC= \sqrt {5a \cdot 9a}=\sqrt {45a^2}=3a\sqrt 5$ .

Il perimetro sarà:

$2p=6a+9a+3a\sqrt5=15a+3a\sqrt5=3a(5+\sqrt5)$ .

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Esercizio 19 Problemi sui teoremi di Euclide

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