Marco chiede: Studio di funzione

Salve a tutti qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo quesito per favore ? Grazie

E’ una funzione da studiare

-Data la funzione

$f(x)=|x|\sqrt {\frac {2x}{2x+1}}$

Determinare

Dominio
Asintoti
Estremo Sup Estremo Inf
Derivabilità
Estremi relativi

Soluzione proposta dallo staff

Cerchiamo di svolgere un passo alla volta:

Dominio

Per studiare il dominio ovviamente sarà necessario studiare solo la positività del radicando, quindi, imponendo:

$\frac {2x}{2x+1} \geq 0,$

otterremo che:

$D= ]-\infty; -\frac 12[ \, \, \cup \, \, [0,+\infty[$

Asintoti

Analizziamo subito l’unico (eventualmente) asintoto verticale:

$\lim_{x \rightarrow -(\frac 12)^{-}} f(x)=+\infty$

Andiamo a vedere il radicando:

$\lim_{x \rightarrow -(\frac 12)^{-}} \frac {2x}{2x+1}=\frac {-1}{0^{-}}=+\infty$

Quindi, sfruttando le proprietà sui limiti che dicono che il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti otterremo che:

$\lim_{x \rightarrow -(\frac 12)^{-}} |x|\sqrt {\frac {2x}{2x+1}}=\lim_{x \rightarrow -(\frac 12)^{-}} \frac 12 \cdot +\infty =+\infty$

Quindi: $x=-\frac 12$ è asintoto verticale.

Vediamo adesso se ci sono asintoti orizzontali; andiamo a studiare i limiti all’infinito:

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=+\infty$

Questo succede perchè, se analizzassimo singolarmente il radicando, otterremo:

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac {2x}{2x+1}=\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac {2x}{2x(1+\frac {1}{2x})}=\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac {2x}{2x}=1$

Quindi, sfruttando le proprietà sui limiti che dicono che il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti otterremo che:

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} |x|\sqrt {\frac {2x}{2x+1}}=\lim_{x \rightarrow \pm \infty} |x| \cdot 1 =+\infty$

ASINTOTI OBLIQUI…

La retta di un asintoto obliquo è $y=mx+q$ , dove

$m= \lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac {|x|\sqrt {\frac {2x}{2x+1}}}{x}=\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac {|x|}{x}=\pm 1$ (sfruttiamo il limite sulla radice studiato precedentemente)

$q= \lim_{x \rightarrow \pm \infty} |x|\sqrt {\frac {2x}{2x+1}} -mx$ .

Studiamo separatamente i due casi, sfruttando il limite sulla radice studiato precedentemente:

$q= \lim_{x \rightarrow - \infty} -x \sqrt {\frac {2x}{2x+1}} +x=0$ .

$q= \lim_{x \rightarrow + \infty} x \sqrt {\frac {2x}{2x+1}} -x=0$ .

Quindi l’asintoto obliquo sarà unico e sarà proprio:

$y=mx$

Estremo superiore ed estremo inferiore

Per quanto riguarda lo studio degli estremi, basterebbe studiare il codominio… Ma senza bisogno di grossi calcoli, notiamo che $f(x)$ è sicuramente positiva, in quanto sarà il prodotto tra un valore assoluto e una radice quadrata, quindi, il minimo valore che potrà assumere sarà 0; l’estremo superiore sarà invece proprio il risultato dei limiti appena trovati.

Quindi avremo che:

$inf_f = 0 \qquad sup_f=+\infty$

Derivabilità

Studiamo la derivata prima:

Se $x>0$ :

$f'(x)=\sqrt{\frac {2x}{2x+1}} + x \frac {1}{2\sqrt {\frac {2x}{2x+1}}}\frac {2(2x+1)-2x(2)}{(2x+1)^2}$

$f'(x)=\sqrt{\frac {2x}{2x+1}} + x \frac {1}{2}\sqrt {\frac {2x+1}{2x}} \frac {4x+2-4x}{(2x+1)^2}$

$f'(x)=\sqrt{\frac {2x}{2x+1}} + \sqrt {\frac {2x+1}{2x}} \frac {x}{(2x+1)^2}$

Se $x<0$ :

$f'(x)=-\sqrt{\frac {2x}{2x+1}} - x \frac {1}{2\sqrt {\frac {2x}{2x+1}}}\frac {2(2x+1)-2x(2)}{(2x+1)^2}$

$f'(x)=-(\sqrt{\frac {2x}{2x+1}} + x \frac {1}{2}\sqrt {\frac {2x+1}{2x}} \frac {4x+2-4x}{(2x+1)^2})$

$f'(x)=-(\sqrt{\frac {2x}{2x+1}} + \sqrt {\frac {2x+1}{2x}} \frac {x}{(2x+1)^2})$

Senza bisogno di grossi calcoli, notiamo che:

per $x=-\frac 12$ la funzione non è derivabile, mentre invece

per $x=0$ la funzione è derivabile, sebbene ci sia il valore assoluto (basta sostituire $0^+$ o $0^-$ nella derivata e otterremo lo stesso risultato).

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