Sandra scrive: Esercizio equazione parametrica

Pubblicato il 30 Aprile 201330 Aprile 2013 da EdoLascia un commento

Una studentessa scrive

Corpo del messaggio:
$12x^2-2(k-3)x-k=0$

a) Una radice è tripla dell’ altra
b) Il rapporto tra le radici è 1/6

Risposta dello staff

Innanzitutto calcoliamo per quali valori di $k$ l’equazione ammette soluzioni reali:

$\Delta=4(k-3)^2+48k=4k^2-24k+36+48k=4k^2+24k+36=4(k^2+6k+9)=4(k+3)^2$

Essendo un prodotto di due quadrati, sicuramente ammetterà soluzioni reali per ogni valore di $k$ . Analizziamo ora le richieste:
a) Una radice è tripla dell’ altra

Noi sappiamo quindi, che:

$3x_1=x_2$

e che:

$x_1+x_2=4x_1=\frac {2(k-3)}{12}=\frac 16 (k-3)$

quindi:

$x_1=\frac {1}{24}(k-3)$

Sappiamo anche che:

$x_1*x_2=3x_1^2=-\frac {1}{12}k$

e quindi:

$x_1^2=-\frac {1}{36}k$

Mettendo a sistema otteniamo:

$\begin{cases} x_1=\frac {1}{24} (k-3) \\ x_1^2=-\frac {1}{36}k \end{cases}$

$\begin{cases} x_1^2=\frac {1}{576} (k-3)^2 \\ x_1^2=-\frac {1}{36}k \end{cases}$

Analizziamo solo l’equazione finale:

$\frac {1}{576} (k-3)^2 =-\frac {1}{36}k$

$(k-3)^2=-16k$

$k^2-6k+9+16k=0$

$k^2+10k+9=0$

$k_{\frac 12}=\frac {-10 \pm \sqrt {100-36}}{2}=\frac {-10 \pm \sqrt {64}}{2}=\frac {-10 \pm 8}{2}=-5 \pm 4$

ovvero:

$k_1= -9 \quad \wedge \quad k_2=-1$
b) Il rapporto tra le radici è 1/6

Noi sappiamo quindi, che:

$\frac {x_1}{x_2}=\frac 16$

e quindi:

$x_2=6x_1$

Utilizzando lo stesso criterio di sopra, otteniamo:

$x_1+x_2=7x_1=\frac {2(k-3)}{12}=\frac 16 (k-3)$

quindi:

$x_1=\frac {1}{42}(k-3)$

Sappiamo anche che:

$x_1*x_2=6x_1^2=-\frac {1}{12}k$

e quindi:

$x_1^2=-\frac {1}{72}k$

Mettendo a sistema otteniamo:

$\begin{cases} x_1=\frac {1}{42} (k-3) \\ x_1^2=-\frac {1}{72}k \end{cases}$

$\begin{cases} x_1^2=\frac {1}{1764} (k-3)^2 \\ x_1^2=-\frac {1}{72}k \end{cases}$

Analizziamo solo l’equazione finale:

$\frac {1}{1764} (k-3)^2 =-\frac {1}{72}k$

$2(k-3)^2=-49k$

$2k^2-12k+18+49k=0$

$2k^2+37k+18=0$

$k_{\frac 12}=\frac {-37 \pm \sqrt {1369-144}}{4}=\frac {-37 \pm \sqrt {1225}}{4}=\frac {-37 \pm 35}{4}$

ovvero:

$k_1= -18 \quad \wedge \quad k_2=-\frac 12$

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