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Lorenzo scrive: Esercizio su formule di bisezione

Oggetto: espressioni goniometriche con formule di bisezione da semplificare

Corpo del messaggio:
cos^4(x/4)-1/2sen(\pi/2-x/2)-cos^2(x/2)*sen^2(x/2)-1/4cos^2x

 

Risposta dello staff

Ricaviamo i singoli pezzi:

cos(\frac x4)=\pm \sqrt {\frac {1+cos (\frac x2)}{2}}

cos^4(\frac x4)=\left(\frac {1+cos (\frac x2)}{2}\right)^2

sen(\frac {\pi}{2}-\frac x2)=sen\frac {\pi}{2}cos\frac {x}{2}-sen\frac {x}{2}cos\frac {\pi}{2}=cos\frac {x}{2}

cos^2(x/2)*sen^2(x/2)=\frac {1+cosx}{2}\frac {1-cosx}{2}=\frac {1-cos^2x}{4}

Sostituendo otteniamo:

    \[\left(\frac {1+cos (\frac x2)}{2}\right)^2-\frac 12 cos\frac {x}{2}-\frac {1-cos^2x}{4}-\frac {cos^2x}{4}=\]

    \[=\frac {1+2cos\frac x2 + cos^2\frac x2-2cos \frac x2-1+cos^2x-cos^2x}{4}=\]

    \[=\frac { cos^2\frac x2}{4}=\frac {1+cosx}{8}\]

 

 

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