Alessia scrive: Esercizio segmenti

Oggetto: problema 2

Corpo del messaggio:
il punto C divide il segmento AB in due parti tali che AC<BC , inoltre il doppio della parte minore AC è 2 cm in più di BC e il prodotto delle loro misure supera di 3 cmq il quadrato di AC. tracciata per B la perpendicolare ad AB, determina su di essa un punto P tale che PB^2+PC^2+PA^2 =92
PB= ?

 

Dai dati avremo che:

AC<BC

AC+BC=AB

2AC=2 \mbox { cm}+BC

AC*BC=3 \mbox { cm}^2+AC^2

Ricaviamo subito che:

BC=2AC-2\mbox { cm}.

Sostituendo nella seconda otteniamo:

AC*(2AC-2)=3+AC^2

2AC^2-2AC=3+AC^2

AC^2-2AC-3=0

(AC-3)(AC+1)=0

Quindi le soluzioni saranno:

AC=3 \quad \lor \quad AC=-1.

Essendo una distanza, questa non potrà mai assumere valore negativo e quindi:

AC=3 \mbox { cm}

BC= 4 \mbox { cm}

AC= 7 \mbox { cm}.

Tracciato PB, notiamo che i due triangoli che si vengono a formare: PBC e PBA sono rettangoli.

Poniamo PB=x, così otteniamo, per Pitagora:

PC^2=PB^2+BC^2=x^2+16

PA^2=PB^2+BA^2=x^2+49.

Sostituiamo tutto nell’equazione richiesta:

PB^2+PC^2+PA^2 =92

x^2+x^2+16+x^2+49=92

3x^2=27

x^2=9

x=\pm 3.

Ovviamente è da escludere la soluzione negativa e quindi:ù

PB=3 \mbox { cm}.

 

P.S. in realtà il valore -3 significa che è indifferente piazzare il punto P a destra o a sinistra del punto B.

 

 

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