Fabio scrive: Esercizi di algebra

Oggetto: Trigoniometria e numeri complessi

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Ciao, le foto degli esercizi che vi sto inviando sono esercizi che non mi riescono quindi vorrei capire con il vostro aiuto come svolgerli, aspetto una risposta in merito gli esercizi. Grazie

Risposta dello staff

$z_1=\sqrt 2 \left(cos\frac{2}{3} \pi + i sen \frac{2}{3}\pi\right)$

$z_2=\frac{\sqrt 3}{2} cos\frac{5\pi}{4} + i sen \frac{5\pi}{4}$

Sfruttiamo la formula:

$z_1=r(cos\alpha+isen\alpha)$

$z_2=r(cos\beta+isen\beta)$

$z_1z_2=\frac rs \left[cos(\alpha+\beta)+isen(\alpha+\beta)\right]$

avremo quindi:

$z_1z_2=\frac{\sqrt 6}{2} \left[cos(\frac{2}{3} \pi+\frac{5\pi}{4})+isen(\frac{2}{3} \pi+\frac{5\pi}{4})\right]$

da cui:

$cos(\frac{2}{3} \pi+\frac{5\pi}{4})=cos(\frac{2}{3} \pi)cos(\frac{5\pi}{4})-sen(\frac{2}{3} \pi)sen(\frac{5\pi}{4})=\frac{1}{2}\frac{\sqrt 2}{2}+\frac {\sqrt 3}{2} \frac{\sqrt 2}{2}=\frac{\sqrt 2}{4}(1+\sqrt 3)$

$sen(\frac{2}{3} \pi+\frac{5\pi}{4})=sen(\frac{2}{3} \pi)cos(\frac{5\pi}{4})+cos(\frac{2}{3} \pi)sen(\frac{5\pi}{4})=-\frac{\sqrt 3}{2}\frac{\sqrt 2}{2}+\frac {1}{2} \frac{\sqrt 2}{2}=\frac{\sqrt 2}{4}(1-\sqrt 3)$

Sostituendo alla espressione precedente avremo:

$z_1z_2=\frac{\sqrt 6}{2} \left[\frac{\sqrt 2}{4}(1+\sqrt 3) +i\frac{\sqrt 2}{4}(1-\sqrt 3)$

$z_1z_2=\frac{\sqrt 3}{4}(1+\sqrt 3) +i\frac{\sqrt 3}{4}(1-\sqrt 3)$

$z_1z_2=\frac{\sqrt 3+3}{4} +i\frac{\sqrt 3-3}{4}$

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La matematica spiegata passo passo

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