Esercizio 1 riepilogo

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http://www.matebook.it/algebra/equazioni-di-grado-superiore-al-secondo/esercizi-di-riepilogo/

 

Traccia

\frac {x^2-3}{x^2+1}-\frac{x^2-1}{x^2-3}+\frac{4+\sqrt2}{2}=0

Svolgimento

Per comodità poniamo x^2=t, così da avere:

\frac {t-3}{t+1}-\frac{t-1}{t-3}+\frac{4+\sqrt2}{2}=0

\frac {2(t-3)^2-2(t-1)(t+1)+(4+\sqrt2)(t-3)(t+1)}{2(t+1)(t-3)}=0

Imponendo che:

t \neq 3 \quad \mbox{ e } \quad t \neq -1, otteniamo:

2t^2-12t+18-2t^2+2+4t^2-8t-12+\sqrt 2 t^2 - 2\sqrt 2 t -3\sqrt 2=0

t^2(4+\sqrt 2)-2t(10+\sqrt 2)+8  -3\sqrt 2=0

t_{\frac 12}=\frac {2(10+\sqrt 2) \pm \sqrt {4(100+20\sqrt 2 +2)-4(8-3\sqrt 2)(4+\sqrt 2)}}{2(4+\sqrt 2)}=

t_{\frac 12}=\frac {20+2\sqrt 2 \pm \sqrt {400+80\sqrt 2 +8-128-32\sqrt 2+48 \sqrt 2 +24}}{2(4+\sqrt 2)}=

t_{\frac 12}=\frac {20+2\sqrt 2 \pm \sqrt {304+96\sqrt 2  }}{2(4+\sqrt 2)}=

t_{\frac 12}=\frac {20+2\sqrt 2 \pm 4\sqrt {19+6\sqrt 2  }}{2(4+\sqrt 2)}=

t_{\frac 12}=\frac {10+\sqrt 2 \pm 2\sqrt {(3\sqrt 2+1)^2  }}{4+\sqrt 2}=

t_{\frac 12}=\frac {10+\sqrt 2 \pm 2(3\sqrt 2+1)}{4+\sqrt 2}.

Quindi avremo:

t_1=\frac {10+\sqrt 2 - 6\sqrt 2-2}{4+\sqrt 2}=\frac {8 - 5\sqrt 2}{4+\sqrt 2}\frac {4-\sqrt2}{4-\sqrt2}=\frac {32-8\sqrt2-20\sqrt2+10}{14}=\frac {42-28\sqrt2}{14}=3-2\sqrt2

t_2=\frac {10+\sqrt 2 + 6\sqrt 2+2}{4+\sqrt 2}=\frac {12 +7\sqrt 2}{4+\sqrt 2}\frac {4-\sqrt2}{4-\sqrt2}=\frac {48-12\sqrt 2+28\sqrt2-14}{14}=\frac {34-16\sqrt2}{14}=\frac {17-8\sqrt 2}{7}.

Ora ricaviamo l’incognita iniziale:

x_{\frac 12}= \pm \sqrt {3-2\sqrt 2}=\pm \sqrt {(\sqrt 2-1)^2}= \pm (\sqrt2-1)

x_{\frac 34}= \pm \sqrt {\frac {17-8\sqrt2}{7}}

 

 

 
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