Esercizio 7 equazioni riconducibili ad una sola funzione goniometrica

Traccia

tg^4x-2sec^2x+3=0

Svolgimento

Per ricondurre tutto ad un unica funzione goniometrica dobbiamo utilizzare l’uguaglianza

tgx=\frac {senx}{cosx}, e

secx=\frac {1}{cosx}

e sostituendo questa nell’equazione iniziale, otteniamo:

(\frac {senx}{cosx})^4x-2(\frac {1}{cosx})^2x+3=0

Imponendo la condizione di esistenza:

cosx \neq 0,

otteniamo:

sen^4x-2cos^2x+3cos^4x=0

imponendo che sen^2x =1-cos^2x, avremo:

(1-cos^2x)^2-2cos^2x+3cos^4x=0

1-2cos^2x+cos^4x-2cos^2x+3cos^4x=0

4cos^4x-4cos^2x+1=0

(2cos^2x-1)^2=0

da cui avremo:

2cos^2x-1=0

cos^2x=\frac 12

cosx=\pm \frac {\sqrt 2}{2}

che ammetterà come soluzioni:

x=45^\circ + k90^\circ

 

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