Esercizio 9 equazioni riconducibili ad una sola funzione goniometrica

Traccia

cos x + sec x = \frac 32 \sqrt 2

Svolgimento

Per ricondurre tutto ad un unica funzione goniometrica dobbiamo utilizzare l’uguaglianza

secx=\frac {1}{cosx}

e sostituendo questa nell’equazione iniziale, otteniamo:

cos x + \frac {1}{cosx} = \frac 32 \sqrt 2

Imponendo la condizione di esistenza:

cosx \neq 0 \quad \wedge \quad senx \neq 0,

otteniamo:

cos^2 x + 1= \frac 32 \sqrt 2 cosx

cos^2 x - \frac 32 \sqrt 2 cosx+1=0

2cos^2 x -3 \sqrt 2 cosx+2=0

da cui avremo:

cos_{\frac 12}x=\frac {3\sqrt 2 \pm \sqrt {18-16}}{4}

cos_{\frac 12}x=\frac {3\sqrt 2 \pm \sqrt {2}}{4}

cos_1x=\frac {3\sqrt 2  - \sqrt 2}{4}=\frac {\sqrt 2}{2}

cos_2x=\frac {3 \sqrt 2 +\sqrt2}{4}= \sqrt 2

Come vediamo la seconda soluzione non sarà accettabile perchè maggiore di 1, invece per la prima avremo:

cosx= \frac {\sqrt 2}{2}

che darà come soluzioni:

x=\pm 45^\circ + k360^\circ

 

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