Esercizio 8 equazioni riconducibili ad una sola funzione goniometrica

Traccia

cotg^2x-3sec^2x+5=0

Svolgimento

Per ricondurre tutto ad un unica funzione goniometrica dobbiamo utilizzare l’uguaglianza

cotgx=\frac {cosx}{senx}, e

secx=\frac {1}{cosx}

e sostituendo questa nell’equazione iniziale, otteniamo:

(\frac {cosx}{senx})^2x-3(\frac 1 {cosx})^2x+5=0

Imponendo la condizione di esistenza:

cosx \neq 0 \quad \wedge \quad senx \neq 0,

otteniamo:

cos^4x-3sen^2x+5sen^2xcos^2x=0

imponendo che sen^2x =1-cos^2x, avremo:

cos^4x-3(1-cos^2x)+5(1-cos^2x)cos^2x=0

cos^4x-3+3cos^2x+5cos^2x-5cos^4x=0

-4cos^4x+8cos^2x-3=0

4cos^4x-8cos^2x+3=0

da cui avremo:

cos^2_{\frac 12}x=\frac {8\pm \sqrt {64-48}}{8}

cos^2_{\frac 12}x=\frac {8\pm \sqrt {16}}{8}

cos^2_{\frac 12}x=\frac {8\pm 4}{8}

cos^2_1x=\frac {8  - 4}{8}=\frac 12

cos^2_2x=\frac {8\pm 4}{8}= \frac 32

Come vediamo la seconda soluzione non sarà accettabile perchè maggiore di 1, invece per la prima avremo:

cosx=\pm \frac {\sqrt 2}{2}

che darà come soluzioni:

x=45^\circ + k90^\circ

 

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