Esercizio 3 Valori assoluti: equazioni in cui compaiono valori assoluti

Traccia

\left | x^2+3x \right | =2(x+6)

Svolgimento

Per svolgere questa equazione dovremo considerare separatamente due casi, ovvero studiare il caso in cui il valore assoluto sia positivo e/o negativo e svolgere i calcoli singolarmente.

Studiamo prima la positività del modulo:

  • x^2+3x \geq 0

Senza svolgere tutti i calcoli, avremo che:

x \leq -3 \quad \lor \quad x \geq 0

Quindi avremo che:

x^2 +3x \geq 0 \mbox { per } x \leq -3 \quad \lor \quad x \geq 0

x^2+3x < 0 \mbox { per } -3<x< 0

Studiamo i due sistemi:

\begin{cases}  x \leq -3 \quad \lor \quad x \geq 0 \\ x^2+3x=2x+12  \end{cases}  \qquad \begin{cases}  -3< x < 0 \\ x^2+3x=-2x-12 \end{cases}

\begin{cases}  x \leq -3 \quad \lor \quad x \geq 0 \\ x^2+x-12=0  \end{cases}  \qquad \begin{cases}  -3< x < 0 \\ x^2+5x+12=0 \end{cases}

\begin{cases}  x \leq -3 \quad \lor \quad x \geq 0 \\ x_{\frac 12}= \frac {-1 \pm \sqrt {1+48}}{2}=\frac {-1 \pm 7}{4}  \end{cases}  \qquad \begin{cases}  -3< x < 0 \\ x_{\frac 12}= \frac {-5 \pm \sqrt {25-48}}{2} \Rightarrow \mbox { impossibile } \end{cases}

Visto che il secondo sistema sarà impossibile analizziamo solo il primo:

\begin{cases}  x \leq -3 \quad \lor \quad x \geq 0 \\ x_1= \frac {-1 - 7}{2}=-4 \quad \lor \quad  x_2= \frac {-1 -+7}{2}=3 \end{cases}

Le soluzioni sono ambedue accettabili.

 

 

 

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