Esercizio 8 Valori assoluti: equazioni in cui compaiono valori assoluti

Traccia

\left | x^2+4x+4 \right | - \left | 3x-1\right | = 4x+1

Svolgimento

Per svolgere questa equazione dovremo considerare separatamente due casi, ovvero studiare il caso in cui il valore assoluto sia positivo e/o negativo e svolgere i calcoli singolarmente.

Studiamo prima la positività dei moduli:

  • x^2+4x+4 \geq 0 \Rightarrow (x+2)^2 \geq 0

Senza svolgere tutti i calcoli, notiamo che, essendo un quadrato di binomio, questo è sempre positivo…

  • 3x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac 13

Studiamo i due sistemi:

\begin{cases}  x \geq \frac 13 \\  x^2+4x+4  -  3x+ 1  = 4x+1 \end{cases}  \qquad \begin{cases}   x < \frac 13 \\ x^2+4x+4  + 3x - 1  = 4x+1 \end{cases}

\begin{cases}  x \geq \frac 13 \\  x^2-  3x+4  =0 \end{cases}  \qquad \begin{cases}   x < \frac 13 \\ x^2+3x +2  = 0 \end{cases}

\begin{cases}  x \geq \frac 13 \\ x_{\frac 12}= \frac {3 \pm \sqrt {9-16}}{2} \Rightarrow \mbox { impossibile }  \end{cases}  \qquad \begin{cases}  x < \frac 13 \\ x_{\frac 12}= \frac {-3 \pm \sqrt {9-8}}{2}= \frac {-3 \pm \sqrt {1}}{2} \end{cases}

Visto che il primo sistema sarà impossibile analizziamo solo il secondo:

\begin{cases}  x < \frac 13 \\ x_1= \frac {-3 - 1}{2}=-2 \quad \lor \quad  x_2= \frac {-3+1}{2}=-1 \end{cases}

Le soluzioni sono ambedue accettabili.

 

 

 

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