Esercizio 5 Valori assoluti: equazioni in cui compaiono valori assoluti

Traccia

\left | x^2-1\right |= x+2

Svolgimento

Per svolgere questa equazione dovremo considerare separatamente due casi, ovvero studiare il caso in cui il valore assoluto sia positivo e/o negativo e svolgere i calcoli singolarmente.

Studiamo prima la positività del modulo:

  • x^2-1 \geq 0

Senza svolgere tutti i calcoli, avremo che:

x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 1

Quindi avremo che:

x^2 -1 \geq 0 \mbox { per } x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 1

x^2-1 < 0 \mbox { per } -1<x<1

Studiamo i due sistemi:

\begin{cases}  x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 1 \\ x^2-1=x+2  \end{cases}  \qquad \begin{cases}  -1< x < 1 \\ x^2-1=-x-2 \end{cases}

\begin{cases}  x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 1 \\ x^2-x-3=0  \end{cases}  \qquad \begin{cases}  -1< x < 1 \\ x^2+x+1=0 \end{cases}

\begin{cases}  x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 1 \\ x_{\frac 12}= \frac {1 \pm \sqrt {1+12}}{2}=\frac {1 \pm \sqrt {13}}{2}  \end{cases}  \qquad \begin{cases}  -1< x < 1 \\ x_{\frac 12}= \frac {-1 \pm \sqrt {1-4}}{2} \Rightarrow \mbox { impossibile } \end{cases}

Le soluzioni del primo sistema sono ambedue accettabili.

 

 

 

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