Esercizio 7 Valori assoluti: equazioni in cui compaiono valori assoluti

Traccia

\left | \frac 13 x - x^2 +1 \right | =2x+1

Svolgimento

\left | \frac {x-3x^2+3}{3} \right | =\frac {6x+3}{3}

\left |x-3x^2+3 \right | =6x+3

Possiamo togliere il denominatore tanto è sicuramente positivo.

Per svolgere questa equazione dovremo considerare separatamente due casi, ovvero studiare il caso in cui il valore assoluto sia positivo e/o negativo e svolgere i calcoli singolarmente.

Studiamo prima la positività del modulo:

  • -3x^2+x+3 \geq 0 \Rightarrow 3x^2-x-3 \leq 0

Senza svolgere tutti i calcoli, avremo che:

\frac {1-\sqrt {37}}{2} \leq  x \leq  \frac {1-\sqrt {37}}{2}

Quindi avremo che:

-3x^2 +x+3 \geq 0 \mbox { per }  \frac {1-\sqrt {37}}{2} \leq  x \leq  \frac {1-\sqrt {37}}{2}

-3x^2+x+3 < 0 \mbox { per } x< \frac {1-\sqrt {37}}{2} \quad  \lor \quad x>\frac {1+\sqrt {37}}{2}

Studiamo i due sistemi:

\begin{cases}  \frac {1-\sqrt {37}}{2} \leq  x \leq  \frac {1+\sqrt {37}}{2} \\ x-3x^2+3=6x+3  \end{cases}  \qquad \begin{cases}  x< \frac {1-\sqrt {37}}{2} \quad  \lor \quad x>\frac {1+\sqrt {37}}{2} \\ 3x^2-x-3=6x+3 \end{cases}

\begin{cases}  \frac {1-\sqrt {37}}{6} \leq  x \leq  \frac {1+\sqrt {37}}{6} \\ 3x^2+5x=0  \end{cases}  \qquad \begin{cases}  x< \frac {1-\sqrt {37}}{6} \quad  \lor \quad x>\frac {1+\sqrt {37}}{6} \\ 3x^2-7x-6=0 \end{cases}

\begin{cases}  \frac {1-\sqrt {37}}{6} \leq  x \leq  \frac {1+\sqrt {37}}{6} \\ x(3x+5)=0  \end{cases}  \qquad \begin{cases}  x< \frac {1-\sqrt {37}}{6} \quad  \lor \quad x>\frac {1+\sqrt {37}}{6} \\ x_{\frac 12}= \frac {7 \pm \sqrt {49+72}}{6}= \frac {7 \pm 11}{6} \end{cases}

\begin{cases}  \frac {1-\sqrt {37}}{6} \leq  x \leq  \frac {1+\sqrt {37}}{6} \\ x_1=0 \quad \wedge \quad x_2=-\frac 53  \end{cases}  \qquad \begin{cases}  x< \frac {1-\sqrt {37}}{6} \quad  \lor \quad x>\frac {1+\sqrt {37}}{6} \\ x_1= \frac {7-11}{6}= -\frac 23 \quad \wedge \quad x_2= \frac {7+11}{6}= 3 \end{cases}

Di queste soluzioni:

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