Esercizio 6 Valori assoluti: equazioni in cui compaiono valori assoluti

Traccia

\left | -2x^2+3x\right | =x

Svolgimento

Per svolgere questa equazione dovremo considerare separatamente due casi, ovvero studiare il caso in cui il valore assoluto sia positivo e/o negativo e svolgere i calcoli singolarmente.

Studiamo prima la positività del modulo:

  • -2x^2+3x \geq 0 \Rightarrow 2x^2-3x \leq 0

Senza svolgere tutti i calcoli, avremo che:

0 \leq  x \leq  \frac 32

Quindi avremo che:

-2x^2+3x \geq 0 \mbox { per } 0 \leq  x \leq  \frac 32

-2x^2+3x < 0 \mbox { per } x< 0 \quad  \lor \quad x>\frac 32

Studiamo i due sistemi:

\begin{cases}  0 \leq  x \leq  \frac 32 \\ -2x^2+3x=x  \end{cases}  \qquad \begin{cases}  x < 0 \quad \lor \quad x > \frac 32 \\ 2x^2-3x=x \end{cases}

\begin{cases}  0 \leq  x \leq  \frac 32 \\ 2x^2-2x=0  \end{cases}  \qquad \begin{cases}  x < 0 \quad \lor \quad x > \frac 32 \\ 2x^2-4x=0 \end{cases}

\begin{cases}  0 \leq  x \leq  \frac 32 \\ x(x-1)=0  \end{cases}  \qquad \begin{cases}  x < 0 \quad \lor \quad x > \frac 32 \\ x(x-2)=0 \end{cases}

\begin{cases}  0 \leq  x \leq  \frac 32 \\ x=0 \quad \wedge \quad x = 1  \end{cases}  \qquad \begin{cases}  x < 0 \quad \lor \quad x > \frac 32 \\ x=0 \quad \wedge \quad x = 2 \end{cases}

Le soluzioni sono tutte e 3 accettabili.

 

 

 

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