Esercizio 4 integrali di funzioni razionali fratte

\int \frac {2}{x^2-3} \, dx

Riscriviamo il polinomio così da avere:

\frac {A}{x-\sqrt 3}+\frac {B}{x+\sqrt 3}=\frac {2}{x^2-3}

\frac{Ax+\sqrt 3A+Bx-\sqrt 3B}{x^2-3}=\frac {2}{9x^2-25}

Da qui avremo il sistema:

\begin{cases} A+B=0 \\ \sqrt 3A-\sqrt 3B=2 \end{cases}

\begin{cases} A=-B \\ -\sqrt 3B-\sqrt 3B=2 \end{cases}

\begin{cases} A=\frac {\sqrt 3}{3} \\ B=-\frac {\sqrt 3}{3} \end{cases}

Quindi l’integrale iniziale diverrà:

\int \frac {dx}{x^2-3}= \frac{\sqrt 3}{3} \left(\int \frac{dx}{x-\sqrt 3}-\int \frac{dx}{x+\sqrt 3} \right)=

=\frac {\sqrt 3}{3}\left( log\left|x-\sqrt 3 \right| -log\left|x+\sqrt 3 \right| \right)+C= \frac {\sqrt 3}{3}\left(log\left|\frac {x-\sqrt 3}{x+\sqrt 3} \right| \right)+C

 

 

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