Esercizio 5 integrali di funzioni razionali fratte

\int \frac {dx}{a^2-x^2}=-\int \frac {dx}{x^2-a^2}=

Riscriviamo il polinomio così da avere:

\frac {A}{x-a}+\frac {B}{x+a}=\frac {1}{x^2-a^2}

\frac{Ax+aA+Bx-aB}{x^2-a^2}=\frac {1}{x^2-a^2}

Da qui avremo il sistema:

\begin{cases} A+B=0 \\ aA-aB=1 \end{cases}

\begin{cases} A=-B \\ -aB-aB=1 \end{cases}

\begin{cases} A=\frac {1}{2a} \\ B=-\frac {1}{2a} \end{cases}

Quindi l’integrale iniziale diverrà:

-\int \frac {dx}{x^2-a^2}=- \frac{1}{2a} \left(\int \frac{dx}{x-a}-\int \frac{dx}{x+a} \right)=

=-\frac {1}{2a}\left( log\left|x-a \right| -log\left|x+a \right| \right)+C= \frac {1}{2a}\left(log\left|\frac {x-a}{x+a} \right| \right)+C

 

 

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