Esercizio 10 Problemi su triangoli e poligoni simili

Traccia

I cateti di un triangolo rettangolo sono lunghi 8,25 cm e 11 cm. Da un punto dell’ipotenusa che la divide, a partire dal vertice in comune con il lato minore, in parti proporzionali ai numeri 5 e 6 si conducono le parallele ai cateti. Determinare il perimetro delle tre parti in cui resta diviso il triangolo dato. (le parti in cui resta divisa l’ipotenusa sono 6,25 e 7,5 cm)

Svolgimento

 

Sia ABC rettangolo in A.

Dai dati avremo che:

AB = 8,25 \mbox { cm}

AC = 11\mbox { cm}

Si può subito trovare il valore dell’ipotenusa con il teorema di Pitagora:

BC=\sqrt {AB^2+AC^2}=\sqrt {68,0625+121}\mbox { cm}=\sqrt {189,0625}\mbox { cm}=13,75\mbox { cm}

Ricaviamo ora le parti in cui è divisa l’ipotenusa:

Date le proporzioni, poniamo:

BD=5x e

DC=6x.

Da qui avremo che:

BC=BD+DC=5x+6x=11x=13,75\mbox { cm}

Quindi:

x=\frac {13,75}{11}\mbox { cm}=1,25\mbox { cm}

Da cui si ottiene:

BD =  6,25 \mbox { cm}

DC = 7,5 \mbox { cm}.
Analizziamo ora la figura e ci rendiamo conto che, per costruzione, AMDN risulta essere un rettangolo e i due triangoli MBD e NDC sono ambedue rettangoli e ambedue simili al triangolo ABC, avendo un angolo in comune e due angoli corrispondenti.
Avendo i lati in proporzione tra loro possiamo dire che

BD : BC = BM : AB

BM=\frac {AB \cdot BD}{BC}=\frac {8,25 \cdot 6,25}{ 13,75} \mbox { cm}=3,75\mbox { cm}

Allo stesso modo calcoliamo MD:

BD : BC = MD : AC

MD=\frac {AC \cdot BD}{BC}=\frac {11 \cdot 6,25}{ 13,75} \mbox { cm}=5\mbox { cm}

Per costruzione sappiamo che MD=AN.

Calcoliamo per differenze i lati che ci mancano:

AM=DN=AB - BM = (8,25 - 3,75) \mbox { cm} = 4,5 \mbox { cm}

NC = AC - AN = (11 - 5) \mbox { cm} = 6 \mbox { cm}.

Infine calcoliamo i tre perimetri:

2p_{MBD} = (3,75 + 5 + 6,25) \mbox { cm} = 15 \mbox { cm}

2p_{DNC}= (4,5 + 6 + 7,5) \mbox { cm} = 18 \mbox { cm}

2p_{AMDN} = 2(4,5 + 5) \mbox { cm} = 19 \mbox { cm}


 

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