Esercizio 9 Problemi su triangoli e poligoni simili

Traccia

In un triangolo isoscele ABC, di base AB=42 cm, e di perimetro 192 cm, l’altezza CH è divisa dal punto P in due segmenti tali che CP:PH=7:5. Dal punto P si traccia la parallela alla base che incontra il lato BC in Q. Determinare le lunghezze dei segmenti in cui il punto Q divide il lato BC.

Svolgimento

 

Dai dati del problema possiamo subito ricavarci i lati uguale del triangolo isoscele, sapendo la base e il perimetro:

AC = BC = \frac {2p-AB}{2} = \frac {192 - 42}{2} \mbox { cm}= 75 \mbox { cm}

Possiamo quindi ricavare ora l’altezza con il teorema di Pitagora:

CH = \sqrt {AC^2-(\frac 12AB)^2}=\sqrt {5625 - 441}\mbox { cm} = \sqrt {5184}\mbox { cm} = 72 \mbox { cm}.

Dalla traccia avremo che:

CP=\frac 75 PH.

Ora notiamo che:

CH=CP+PH=\frac 75 PH+PH=\frac {12}{5}PH=72 \mbox { cm}

Quindi avremo che:

PH=30 \mbox { cm}

CP=42 \mbox { cm}

Dato che i due triangoli BCH e QCP sono simili per costruzione, possiamo subito notare che il rapporto tra i lati rimane lo stesso e quindi:

CQ=\frac 75 QB

BC=CQ+QB=\frac 75 QB+QB=\frac {12}{5}QB=75 \mbox { cm}

Quindi avremo che:

QB=\frac {5}{12}75 \mbox { cm}=31,25\mbox { cm}

CP=\frac 75 QB=\frac 75 31,25\mbox { cm}=43,75 \mbox { cm}


 

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