Esercizio 30 Problemi su triangoli e poligoni simili

Traccia

Il perimetro di un triangolo isoscele è 16a e la base supera di 2a l’altezza relativa alla base. Determinare la diagonale del rettangolo di perimetro 10a inscritto nel triangolo dato.

Svolgimento

isoscele con rettangolo

Dai dati abbiamo:

2p=16a

AB=2a+AH

Ponendo AH=x, otteniamo:

BH=a-\frac 12x

AB=\sqrt {BH^2+AH^2}=\sqrt {(a+\frac 12x)^2+x^2}=\sqrt {a^2+ax+\frac 14x^2+x^2}=\sqrt {a^2+ax+\frac 54x^2}.

Sapendo che il perimetro è 16a, otteniamo:

2a+x+2\sqrt{a^2+ax+\frac 54x^2}=16a

2\sqrt{a^2+ax+\frac 54x^2}=14a-x

4a^2+4ax+5x^2=196a^2-28ax+x^2

4x^2+32ax-192a^2=0

x^2+8ax-48a^2=0

(x+12a)(x-4a)=0.

Ovviamente un lato non potrà mai avere misura negativa e quindi, l’unica soluzione accettabile è:

x=4a, da cui:

AH=4a

AB=6a

AC=5a.

Per costruzione notiamo che i triangoli BDE e AHB sono simili, e quindi, ponendo ED=x, e sapendo che AH divide a metà anche il lato DG, possiamo verificare che:

BD:BH=ED:AH

BD=\frac {BH \cdot ED}{AH}=\frac {3ax}{4a}=\frac 34x

Troviamo DH come differenza di lati:

DH=BH-BD=3a-\frac 34x.

DG=2DH=6a-\frac 32x

Sapendo che il perimetro del rettangolo imponiamo l’uguaglianza:

2x+2(6a-\frac 32x)=10a

2x+12a-3x=10a

-x=-2a

x=2a

Quindi avremo che:

ED=2a

DG=3a

La diagonale EG la calcoliamo con il teorema di Pitagora:

EG=\sqrt {ED^2+DG^2}=\sqrt {4a^2+9a^2}=a\sqrt{13}


 

 

 

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