Problema 2 PNI 2010

Problema 2

 

Nel piano riferito ad un sistemaOxy di coordinate cartesiane siano assegnate le parabole di equazioni: y^2=2x e x^2=y

1. Si disegnino le due parabole e se ne determinino le coordinate dei fuochi e le equazioni delle rispettive rette direttrici. Si denoti con A il punto di intersezione delle due parabole diverso dall’origine O.

2. L’ascissa di A è\sqrt[3]2; si dica a quale problema classico dell’antichità è legato tale numero e, mediante l’applicazione di un metodo iterativo di calcolo, se ne trovi il valore approssimato a meno di 10^{-2}.
3. Sia D la parte di piano delimitata dagli archi delle due parabole di estremi O e A. Si determini la retta r, parallela all’asse x, che stacca su D il segmento di lunghezza massima.

4. Si consideri il solido W ottenuto dalla rotazione di D intorno all’asse x. Se si taglia W con piani ortogonali all’asse x, quale forma hanno le sezioni ottenute? Si calcoli il volume di W.

 

 

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