Quesito 10 Scientifico 2010

Si consideri la regione delimitata da y=\sqrt x, dall’asse x e dalla retta x = 4 e si calcoli il volume del solido che essa genera ruotando di un giro completo intorno all’asse y.

 

Bisognerà calcolare il volume ottenuto ruotando la regione considerata intorno all’asse delle ordinate.

Tale volume può essere calcolato come la differenza tra:

  • V_1: volume del cilindro di raggio 4 e altezza 2
  • V_2: volume del solido di rotazione ottenuto facendo ruotare la funzione x=y^2 intorno all’asse y nell’intervallo [0;2].

    \[V_1=\pi r^2h=\pi \cdot 16 \cdot 2= 32 \pi\]

    \[V_2=\pi \int_0^2 \left(y^2\right)^2 dy=\pi \int_0^2 y^4 dy=\frac {\pi}{5} \left[y^5\right]_0^2=\frac {32}{5}\pi\]

Quindi:

    \[V=V_1-V_2=32 \pi - \frac {32}{5}\pi=\frac {128}{5}\pi.\]

 

 

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