Quesito 5 Scientifico 2010

Un serbatoio ha la stessa capacità del massimo cono circolare retto di apotema 80 cm. Quale è la capacità in litri del serbatoio?

 

Sia x l’angolo fra l’apotema e il raggio di base, si ha:

h=80senx

r=80cosx

con 0<x<\frac 12 \pi.

Il volume del cono è dato da:

    \[V(x)=\frac 13 S_b \cdot h=\frac 13 \pi \left(80cosx\right)^2 \cdot \left(80senx\right)=\]

    \[=\frac {512000}{3}\pi cos^2xsenx=kcos^2xsenx=ksenx(1-sen^2x)\]

Per trovare il volume massimo, deriviamo, considerando che k=\frac {512000}{3}\pi è costante:

V'(x)=k(cosx-3sen^2xcosx)=kcosx(1-3sen^2x)

Troviamo il segno della derivata:

  • k \geq 0 \quad \forall x
  • cosx \geq 0 \quad 0 \leq x \leq \frac 12 \pi \quad \lor \quad \frac 32 \pi \leq x \leq 2 \pi
  • 1-3sen^2x \geq 0 \Rightarrow -\frac {\sqrt 3 }{3} \leq senx \leq \frac {\sqrt 3 }{3}

In quest’ultima, visto il vincolo sulla x consideriamo solo i risultati nel primo quadrante, così da ottenere:

x=\alpha=arcsen \left(\frac {\sqrt 3 }{3}\right)

Da qui, calcoliamo il cosx=\frac {\sqrt 6 }{3}, e quindi, il volume massimo è dato da:

    \[V_{MAX}=\frac {512000}{3}\pi \left(\frac {\sqrt 6 }{3} \right)^2\frac {\sqrt 3 }{3}\simeq 206370 \mbox{ cm}^3\simeq 206,4 \mbox{ dm}^3.\]

La capacità è di 206,4 litri circa.
 

 

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