Quesito 1 Scientifico 2012

Cosa rappresenta il limite seguente e qual è il suo valore?  

    \[\lim_{h \to 0} \frac {5\left ( \frac 12 + h \right)^4 - 5 \left( \frac 12 \right)^4}{h} \]

 

Il limite dato altro non è che un rapporto incrementale. Infatti, in generale, sappiamo che il rapporto incrementale di una funzione f in un punto x_0 è dato da:

    \[\lim_{h \to 0} \frac {f(x_0+h)-f(x_0)}{h} .\]

Quindi, considerando f(x)=5x^4 e x_0=\frac 12 otteniamo proprio la traccia.

Per calcolare tale limite osserviamo che f(x) è derivabile in x=\frac 12, e da questo segue che al limite del rapporto incrementale coincide proprio la derivata calcolata nel punto.

    \[f'(x)= 20x^3 \Rightarrow f'(\frac 12)=\frac {20}{8}=\frac 52.\]

 

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