Quesito 10 Scientifico 2012

Quale delle seguenti funzioni è positiva per ogni x reale? 

    \[A) cos(sen(x^2+ 1)) \, \,   B) sen(cos(x^2+ 1))  \, \,  C) sen(ln(x^2+ 1)) \, \, D) cos(ln(x^2 +1)).\]

 Si giustifichi la risposta

 

La funzione (A) è positiva per ogni x reale. Infatti, per ogni valore di x sappiamo che -1 \leq sen (x^2+1) \leq 1, allora detto y=sen(x^2+1) abbiamo che cos(y) \geq 0 per y \in \left[-\frac {\pi}{2};\frac {\pi}{2}\right], e quindi a maggior ragione per y \in \left[-1;1].

 

La funzione (B) è negativa, per esempio, in x=\sqrt {\pi -1}. Difatti

    \[sen(cos((\sqrt {\pi-1})^2+1))=sen(-1)<0.\]

 

Le funzioni (C) e (D) non sono positive per ogni x reale in quanto log(x^2+1) assume al variare di x qualsiasi valore reale e poichè coseno e seno non sono funzioni sempre positive, neanche le funzioni (C) e (D) lo possono essere.
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