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Claudio scrive: Problemi con la parabola

Oggetto: Problemi con la prabola

Corpo del messaggio:
Vi chiedo aiuto per questi problemi sperando di riuscire a trovare una logica di risoluzione prima del compito in classe.
Non riesco proprio a capire da dove cominciare.
Grazie.

 

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Risposta dello staff

 

Esercizio svolto sulla parabola 240

Esercizio svolto sulla parabola 241

Esercizio svolto sulla parabola 242

Esercizio svolto sulla parabola 243

Esercizio svolto sulla parabola 244

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Claudio scrive: Problemi con la parabola 241

Scrivi l’equazione della parabola passante per A(1,0), B(4,0) e C(0,4). Tracciane il grafico e determina l’equazione della retta tangente alla parabola e parallela alla retta di equazione y=-2x

Risposta dello staff

La generica equazione è y=ax^2+bx+c, e quindi dati i punti dati della traccia avremo:

\begin{cases} a+b+c=0 \\ 16a+4b+c=0 \\ c=4\end{cases}

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Claudio scrive: Problemi con la parabola 240

Scrivi l’equazione della parabola che ha il fuoco in F\left(2;-\frac 34\right) e ha come direttrice la retta di equazione y=-\frac 54. Indica con A e B (x_A<x_B) i punti di intersezione della parabola con la retta di equazione y=2x+1. Determina l’area del trapezio AA'B'B, essendo A’ e B’ le proiezioni di A e B sull’asse x.

 

Risposta dello staff

La generica equazione della parabola è:

y=ax^2+bx+c

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Claudio scrive: Problemi con la parabola 242

Traccia il grafico della parabola di equazione y=x^2-x-6 e determina le coordinate dei punti d’intersezione A e B con l’asse x (x_A<x_B). scrivi le equazioni delle rette tangenti alla parabola in A e B, indicando con C il loro punto di intersezione. Determina l’area del triangolo ABC.

Risposta dello staff

Troviamo subito le due intersezioni:

x^2-x-6=0

(x-3)(x+2)=0

x_A=-2

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Claudio scrive: Problemi con la parabola 244

Considera la parabola avente equazione y=x^2-2x+1 e tracciane il grafico. Indica con A e B (x_A<x_B) i punti in cui la retta di equazione y=x+1 interseca la parabola e determina il punto P dell’arco AB di parabola in corrispondenza del quale è massima l’area del triangolo APB.

P 3/2 1/4

Risposta dello staff

Troviamo i due punti di intersezione:

\begin{cases} y=x^2-2x+1 \\ y=x+1\end{cases}

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Claudio scrive: Problemi con la parabola 243

Scrivi l’equazione della parabola che ha vertice nel punto V(2,4) e passa per l’origine. Scrivi le equazioni delle rette tangenti alla parabola passanti per P(3,7) e indica con A e B i punti di contatto delle tangenti con la parabola. Calcola l’area del triangolo APB:

Risposta dello staff

Passando per l’origine l’equazione sarà del tipo.

y=ax^2+bx

da cui:

\begin{cases} -\frac {b}{2a}=2 \\ 4a+2b=4\end{cases}

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Michela scrive: problema su parabola

Oggetto: problema su parabola

Corpo del messaggio:
Fra le parabole del tipo y= ax^2+bx+c:
a) determina la parabola p1 passante per A (-3; 4)e B (5; 8) e avente ascissa del vertice uguale a 2;
b) individua la parabola p2 passante per A e B e per il punto (1; 2);
c) conduci una  retta parallela all’asse y nella parte di piano delimitata da p1 e p2 in modo che, intersecando le due parabole, si formi un segmento lungo 2.

 

Risposta dello staff

a)

\begin{cases} 4=9a-3b+c \\ 8=25a+5b+c \\ -\frac{b}{2a}=2 \end{cases}

\begin{cases} 4=9a+12a+c \\ 8=25a-20a+c \\ b=-4a \end{cases}

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Alessandro scrive: Problemi parabola

Oggetto: Problemi parabola

Corpo del messaggio:
Determina l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse y, passante per i punti A(1;5/2), B(2;5), C(-1;1/2). Verifica poi che la retta di equazione y=x-2 è esterna alla parabola.

 

Risposta dello staff

Sapendo che la generica parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y ha equazione:

y=ax^2+bx+c

imponiamo il passaggio per i 3 punti risolvendo il sistema:

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Nicola scrive: Problemi parabola

Oggetto: Problemi parabola

Corpo del messaggio:
Disegna la parabola di equazione y=x^2+6x+10 e determinare il vertice V e le intersezioni A e B con la retta di equazione y=-3/2x-5/2. Verifica infine che il triangolo ABV è rettangolo.

 

Risposta dello staff

Il vertice generico avrà coordinate:
V \left( - \frac{b}{2a};- \frac{\Delta}{4a}  \right)

Quindi avremo:

V \left( - 3; 1 \right).

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Sandro scrive: Problemi parabola

Oggetto: Problemi parabola

Corpo del messaggio:
Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse Y di vertice (2;3) e passante per A(1;2); determina poi il secondo punto di intersezione tra essa e la retta che passa per l’origine e per A

Risposta dello staff

Sapendo che è parallelo all’asse delle y allora l’equazione sarà del tipo:

y=ax^2+bx+c

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Alessandro scrive: Esercizi parabola

Oggetto: Esercizi parabola

Corpo del messaggio:
Scrivere l’equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse Y passante per i punti M,N, P assegnati. M (0;-1) N(1;2) P(-2;5)

Risposta dello staff

L’equazione generica della parabola sarà:

y=ax^2+bx+c

Andiamo a risolvere il sistema ponendo le condizioni di passaggio per i 3 punti:

\begin{cases} -1=c \\ a+b+c=2 \\ 4a-2b+c=5 \end{cases}

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Jennifer scrive: Esercizio sulle funzioni (parabola)

Oggetto: Esercizio sulle funzioni (parabola)

Corpo del messaggio:
È data la funzione f definita da

f(x)=mx^2-4x+m-3    \qquad   m \in \mathbb{ R}^*

Per quali valori di m il grafico della funzione f interseca l’asse Ox in un solo punto?

 

Risposta dello staff

Avendo escluso lo zero dai valori possibili della m, che renderebbe la funzione una retta, bisognerà imporre che la curva sia tangente all’asse delle x, ovvero che, ponendo f(x)=0, questa dia un solo risultato, cosa che si ottiene verificando per quali valori avremo il \Delta=0.

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Salvatore scrive: Problema sulla parabola

Oggetto: Problemi sulla parabola

Corpo del messaggio:
Ho bisogno che risolvete i seguenti problemi sulla parabola perchè domani ho compito. Gli esercizi che dovete risolvere sono quelli segnati: n. 207,208,209,210.
Cordiali saluti e a presto

 

CAM00279

 

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Eleonora scrive: Aiuto esercizi

Corpo del messaggio:
1) Trovare le coordinate dei punti intersezione della retta r passante per i seguenti punti:

A = (10,00 ; -27,00)

B = ( -20,00 ; 33,00)

e la parabola di equazione y= -x^2 -8

2) Risolvere il seguente sistema di disequazioni

\begin {cases} \frac {2x^2 -5x -3}{  4x -1} \geq 0 \\  x^2 -7x +6  \geq 0 \end {cases}

 

 

Risposta dello staff

Per trovare la retta passante per quei due punti, basterà sfruttare l’equazione:

\frac {y-y_A}{y_B-y_A}=\frac {x-x_A}{x_B-x_A}

sostituendo i valori delle incognite

\frac {y+27}{33+27}=\frac {x-10}{-20-10}

\frac {y+27}{60}=\frac {x-10}{-30}

y+27=-2x+20

y=-2x-7

Mettiamo ora a sistema la retta con la parabola:

\begin{cases} y=-2x-7 \\ y= -x^2-8\end{cases}

\begin{cases} y=-2x-7 \\ -2x-7= -x^2-8\end{cases}

\begin{cases} y=-2x-7 \\ x^2-2x+1= 0\end{cases}

\begin{cases} y=-2x-7 \\ (x-1)^2= 0\end{cases}

\begin{cases} y=-2x-7 \\ x= 1\end{cases}

\begin{cases} y=-2-7=-9 \\ x= 1\end{cases}

Quindi avrà un unico punto di intersezione:

C(1,-9)

2) Risolvere il seguente sistema di disequazioni

\begin {cases} \frac {2x^2 -5x -3}{  4x -1} \geq 0 \\  x^2 -7x +6  \geq 0 \end {cases}

Analizziamo ogni singola disequazione:

  • 2x^2-5x-3 \geq0

Le due soluzioni saranno:

x_{\frac 12}= \frac {5 \pm \sqrt {25+24}}{4}=\frac {5 \pm \sqrt {49}}{4}=\frac {5 \pm 7}{4}

Quindi:

x_1=-\frac 12

x_2= 3

La disequazione sarà quindi verificata per :

x \leq -\frac 12 \quad \lor \quad x \geq 3

  • 4x-1 >0

x > \frac 14

-\frac 12 \frac14 3
++++ ++++
++++ ++++ ++++
++++ ++++ ++++ ++++

 

La fratta sarà quindi verificata per

-\frac 12 \leq x < \frac 14 \quad \lor \quad x \geq 3

  • x^2-7x+6 \geq 0

Le due soluzioni saranno:

x_{\frac 12}= \frac {7 \pm \sqrt {49-24}}{2}=\frac {7 \pm \sqrt {25}}{2}=\frac {7 \pm 5}{2}

Quindi:

x_1=1

x_2= 6

La disequazione sarà quindi verificata per :

x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq 6

Mettiamo tutto a sistema per ottenere:

\begin{cases} -\frac 12 \leq x < \frac 14 \quad \lor \quad x \geq 3 \\x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq 6 \end{cases}

-\frac12 \frac 14 1 3 6
++++ ++++ ++++ ++++ ++++
++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++
++++ ++++ ++++ ++++

 

La soluzione finale sarà:

-\frac 12 \leq x < \frac 14 \quad \lor \quad x \geq 6

 

 

 

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