Salvatore scrive: Problema sulla parabola

Oggetto: Problemi sulla parabola

Corpo del messaggio:
Ho bisogno che risolvete i seguenti problemi sulla parabola perchè domani ho compito. Gli esercizi che dovete risolvere sono quelli segnati: n. 207,208,209,210.
Cordiali saluti e a presto

 

CAM00279

 

Risposta dello staff

207)Il punto di tangenza avrà coordinate (-1,6), dove l’ordinata la ricaviamo sostituendo il valore -1 nell’equazione della parabola.

Una generica retta passante per il punto di tangenza avrà equazione:

y-6=m(x+1)

y=m(x+1)+6

Sostituendo questa nella equazione della parabola, ricaviamo il \Delta e poi lo poniamo uguale a 0 per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

m(x+1)+6=x^2-3x+2

x^2-x(3+m)-4-m=0

\Delta= (3+m)^2-4(-4-m)=9+6m+m^2+16+4m=m^2+10m+25=(m+5)^2

Il \Delta sarà uguale a 0 per m=-5.

L’equazione della retta tangente quindi sarà:

y=-5(x+1)+6 \rightarrow y=-5x+1

208) Il punto di intersezione tra la parabola e l’asse delle y avrà coordinate (0,-6).

Una generica retta passante per il punto di tangenza avrà equazione:

y+6=mx

y=mx-6

Sostituendo questa nella equazione della parabola, ricaviamo il \Delta e poi lo poniamo uguale a 0 per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

mx-6=-\frac 12 x^2 -4x-6

\frac 12 x^2+4x+mx=0

\Delta=-(4+m)^2

Il \Delta sarà uguale a 0 per m=-4. L’equazione della retta tangente quindi sarà:

y=-4x-6

209) Per verificare che la parabola sia tangente all’asse delle x bisognerà calcolare il \Delta dell’equazione di secondo grado ottenuta mettendo a sistema l’equazione della parabola con y=0.

2x^2+4x+2=0

\Delta=16-16=0

Come ci aspettavamo, la parabola è tangente all’asse x.

Le coordinate del punto le otteniamo sostituendo alla y lo 0:

2(x^2+2x+1)=0

(x+1)^2=0

x=-1

Il punto avrà coordinate (-1,0).

210) Calcoliamo le rette passanti per P:

y-5=m(x+4)

y=mx+4m+5

Mettendo a sistema con l’equazione della parabola, andiamo poi ad imporre l’uguaglianza del \Delta a 0:

mx+4m+5=x^2+4x+6

x^2+x(4-m)+1-4m=0

\Delta=(4-m)^2-4(1-4m)=16-8m+m^2-4+16m=m^2+8m+12

Poniamo il \Delta=0, e otteniamo:

m^2+8m+12=0

(m+6)(m+2)=0

Quindi avremo due soluzioni; la prima retta sarà:

y=-6x-24+5 \rightarrow y=-6x-19;

la seconda sarà:

y=-2x-8+5 \rightarrow y=-2x-3

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