Eleonora scrive: Aiuto esercizi

Corpo del messaggio:
1) Trovare le coordinate dei punti intersezione della retta $r$ passante per i seguenti punti:

$A = (10,00 ; -27,00)$

$B = ( -20,00 ; 33,00)$

e la parabola di equazione $y= -x^2 -8$

2) Risolvere il seguente sistema di disequazioni

$\begin {cases} \frac {2x^2 -5x -3}{ 4x -1} \geq 0 \\ x^2 -7x +6 \geq 0 \end {cases}$

Risposta dello staff

Per trovare la retta passante per quei due punti, basterà sfruttare l’equazione:

$\frac {y-y_A}{y_B-y_A}=\frac {x-x_A}{x_B-x_A}$

sostituendo i valori delle incognite

$\frac {y+27}{33+27}=\frac {x-10}{-20-10}$

$\frac {y+27}{60}=\frac {x-10}{-30}$

$y+27=-2x+20$

$y=-2x-7$

Mettiamo ora a sistema la retta con la parabola:

$\begin{cases} y=-2x-7 \\ y= -x^2-8\end{cases}$

$\begin{cases} y=-2x-7 \\ -2x-7= -x^2-8\end{cases}$

$\begin{cases} y=-2x-7 \\ x^2-2x+1= 0\end{cases}$

$\begin{cases} y=-2x-7 \\ (x-1)^2= 0\end{cases}$

$\begin{cases} y=-2x-7 \\ x= 1\end{cases}$

$\begin{cases} y=-2-7=-9 \\ x= 1\end{cases}$

Quindi avrà un unico punto di intersezione:

$C(1,-9)$

2) Risolvere il seguente sistema di disequazioni

$\begin {cases} \frac {2x^2 -5x -3}{ 4x -1} \geq 0 \\ x^2 -7x +6 \geq 0 \end {cases}$

Analizziamo ogni singola disequazione:

$2x^2-5x-3 \geq0$

Le due soluzioni saranno:

$x_{\frac 12}= \frac {5 \pm \sqrt {25+24}}{4}=\frac {5 \pm \sqrt {49}}{4}=\frac {5 \pm 7}{4}$

Quindi:

$x_1=-\frac 12$

$x_2= 3$

La disequazione sarà quindi verificata per :

$x \leq -\frac 12 \quad \lor \quad x \geq 3$

$4x-1 >0$

$x > \frac 14$

	$-\frac 12$		$\frac14$		$3$
++++	—	—	—	—	—	++++
—	—	—	—	++++	++++	++++

—	++++	++++	++++	—	—	++++

La fratta sarà quindi verificata per

$-\frac 12 \leq x < \frac 14 \quad \lor \quad x \geq 3$

$x^2-7x+6 \geq 0$

Le due soluzioni saranno:

$x_{\frac 12}= \frac {7 \pm \sqrt {49-24}}{2}=\frac {7 \pm \sqrt {25}}{2}=\frac {7 \pm 5}{2}$

Quindi:

$x_1=1$

$x_2= 6$

La disequazione sarà quindi verificata per :

$x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq 6$

Mettiamo tutto a sistema per ottenere:

$\begin{cases} -\frac 12 \leq x < \frac 14 \quad \lor \quad x \geq 3 \\x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq 6 \end{cases}$

	$-\frac12$		$\frac 14$		$1$	$3$		$6$
	++++	++++	++++				++++	++++
++++	++++	++++	++++	++++				++++

	++++	++++	++++					++++

La soluzione finale sarà:

$-\frac 12 \leq x < \frac 14 \quad \lor \quad x \geq 6$

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Matebook

La matematica spiegata passo passo

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