Claudio scrive: Problemi con la parabola 240

Pubblicato il 20 Febbraio 2015 da EdoLascia un commento

Scrivi l’equazione della parabola che ha il fuoco in $F\left(2;-\frac 34\right)$ e ha come direttrice la retta di equazione $y=-\frac 54$ . Indica con A e B $(x_A<x_B)$ i punti di intersezione della parabola con la retta di equazione $y=2x+1$ . Determina l’area del trapezio $AA'B'B$ , essendo A’ e B’ le proiezioni di A e B sull’asse x.

Risposta dello staff

La generica equazione della parabola è:

$y=ax^2+bx+c$

e, dalla traccia avremo:

$\begin{cases} -\frac{b}{2a}=2 \\ \frac{1-b^2+4ac}{4a}=-\frac 34 \\ -\frac{1+b^2-4ac}{4a}=-\frac 54 \end{cases}$

$\begin{cases} b=-4a \\ 1-b^2+4ac=-3a \\ -1-b^2+4ac=- 5a \end{cases}$

$\begin{cases} b=-4a \\ 1-b^2+4ac=-3a \\ 2=2a \end{cases}$

$\begin{cases} b=-4 \\ 1-b^2+4c=-3 \\ a=1 \end{cases}$

$\begin{cases} b=-4 \\ 1-16+4c=-3 \\ a=1 \end{cases}$

$\begin{cases} b=-4 \\ c=3 \\ a=1 \end{cases}$

L’equazione sarà quindi:

$y=x^2-4x+3$

Troviamo i due punti di intersezione:

$\begin{cases} y=x^2-4x+3 \\ y=2x+1 \end{cases}$

$\begin{cases} 2x+1=x^2-4x+3 \\ y=2x+1 \end{cases}$

$\begin{cases} x^2-6x+2=0 \\ y=2x+1 \end{cases}$

da cui:

$x_{\frac 12}=\frac{6 \pm \sqrt{36-8}}{2}=\frac{6 \pm 2\sqrt{7}}{2}=3 \pm \sqrt 7$

da cui i punti:

$A(3-\sqrt7;7-2\sqrt 7)$

$B(3+\sqrt7;7+2\sqrt 7)$

$A'(3-\sqrt7;0)$

$B(3+\sqrt7;0)$

Per calcolare l’area quindi avremo:

$A=\frac{(AA'+BB') \cdot A'B'}{2}=\frac{(7-2\sqrt 7+7+2\sqrt 7)\cdot 2\sqrt 7}{2}=14\sqrt 7$

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