Esercizio 14 Equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici 1

Traccia

$\sqrt{x^2+3x+1}=x-1$

Svolgimento

Essendo una radice quadrata bisognerà imporre un dominio di esistenza dell’eventuale soluzione dell’equazione, ed imporre anche che il secondo termine sia positivo; quindi svolgeremo un sistema in cui imponiamo che il radicando sia positivo e poi eleveremo al quadrato ambo i membri.

$\begin{cases} x^2+3x+1 \geq 0 \\ x-1 \geq 0 \\ x^2+3x+1=x^2-2x+1 \end{cases}$

Per questioni di comodità e spazio, non svolgiamo la prima disequazione, ma scriviamo direttamente il risultato nel sistema:

$\begin{cases} x\leq \frac {-3-\sqrt{5}}{2} \quad \lor \quad x \geq \frac {3-\sqrt 5}{2} \\ x \geq 1 \\ 3x+2x=1-1 \end{cases}$

$\begin{cases} x\leq \frac {-3-\sqrt{5}}{2} \quad \lor \quad x \geq \frac {3-\sqrt 5}{2} \\ x \geq 1 \\ 5x=0 \end{cases}$

$\begin{cases} x\leq \frac {-3-\sqrt{5}}{2} \quad \lor \quad x \geq \frac {3-\sqrt 5}{2} \\ x \geq 1 \\ x=0 \end{cases}$

La soluzione non è accettabile, quindi l’equazione iniziale è impossibile.

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