Anastasia scrive: Equazioni con valore assoluto

Oggetto: Equazioni con valore assoluto

Corpo del messaggio:
\left|x-2 \right|-2\left|x+1\right|+3x=0

 

Risposta dello staff

Dovremo dividere in 3 sistemi:

    \[\begin{cases} x <-1 \\ 2-x+2(x+1)+3x=0\end{cases} \quad \quad \begin{cases} -1 \leq x\leq 2 \\ 2-x-2(x+1)+3x=0\end{cases}\quad \quad  \begin{cases} x>2 \\ x-2-2(x+1)+3x=0\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x<-1 \\ 2-x+2x+2+3x=0\end{cases} \quad \quad \begin{cases} -1 \leq x\leq 2 \\ 2-x-2x-2+3x=0\end{cases}\quad \quad \begin{cases} x>2 \\ x-2-2x-2+3x=0\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x<-1 \\ 4x+4=0\end{cases} \quad \quad \begin{cases} -1 \leq x \leq  2 \\ 0x=0\end{cases}\quad \quad \begin{cases} x>2 \\ 2x-4=0\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x<-1 \\ x=-1\end{cases} \quad \quad \begin{cases} -1 \leq x \leq  2 \\ 0x=0\end{cases}\quad \quad \begin{cases} x>2 \\ x=2\end{cases}\]

 

Notiamo che, per costruzione, il primo e il terzo sistema non ammetteranno soluzione ma solo perchè non sono presenti le uguaglianze, invece il secondo sistema, avendo l’equazione “indeterminata”, ammetterà qualsiasi soluzione che vada bene con i limiti della disequazione, e quindi, l’equazione avrà come soluzione:

    \[-1\leq x \leq 2\]

che, come vediamo, comprende anche le soluzioni del primo e terzo sistema.

 

 

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