Rutri scrive: Esercizio sulla retta

Oggetto: esercizio sulla retta

Corpo del messaggio:
Qual ´e l’equazione della retta passante per il punto
P(1, 0) che nel primo quadrante forma con l’asse delle
ascisse e la retta y = x un triangolo di area 2?

risultato: 4x − 3y − 4 = 0

Potreste farmi vedere come risolverlo?

 

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Calcoliamo innanzitutto la generica retta r:y=mx+q passante per il punto P:

    \[r: 0=m+q \rightarrow q=-m\]

Quindi la retta sarà:

    \[r: y=mx-m\]

.

Il terzo vertice del triangolo sarà dato dall’intersezione tra la retta r e la retta y=x:

    \[\begin{cases} y=x \\ y=mx-m\end{cases}\]

    \[\begin{cases} y=x \\ x=mx-m\end{cases}\]

    \[\begin{cases} y=x \\ mx-x=m\end{cases}\]

    \[\begin{cases} y=\frac {m}{m-1} \\ x=\frac {m}{m-1}\end{cases}\]

I 3 punti del triangolo saranno:

    \[O(0;0) \quad P(1,0) \quad A(\frac {m}{m-1};\frac {m}{m-1})\]

Vedendo come sarà formato il triangolo, l’area sarà:

    \[A_{OPA}= \frac {1 \cdot \frac {m}{m-1}}{2}\]

    \[\frac {m}{2(m-1)}=2\]

    \[m=4m-4\]

    \[3m=4\]

    \[m=\frac 43.\]

La retta richiesta sarà quindi:

    \[r: y=\frac 43x-\frac 43\]

facendo il minimo comune multiplo:

    \[r: 4x-3y-4=0\]

 

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