Leandro scrive: Esercizio equazioni irrazionali

Oggetto: Equazioni irrazionali

Corpo del messaggio:
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  • \sqrt {5+x}= \frac {\sqrt {5+x}}{5-x}

\sqrt {5+x} - \frac {\sqrt {5+x}}{5-x}=0

\sqrt {5+x} \left(1- \frac {1}{5-x}\right)=0

\sqrt {5+x} \left( \frac {5-x-1}{5-x}\right)=0

Quindi avremo due possibilità per la legge di annullamento del prodotto:

  1. 5+x=0 \rightarrow x=-5
  2. 4-x=0 \rightarrow x=4

Sono ambedue accettabili perchè le condizioni di esistenza impongono che x \geq -5.

  • \sqrt[3] {6x+ \sqrt{3+x}}=2

Elevando tutto al cubo otteniamo:

6x+\sqrt{3+x}=8

\sqrt{3+x}=8-6x

Eleviamo tutto al quadrato, con la condizione di esistenza che x\ geq -3, ottenendo:

3+x=64-96x+36x^2

36x^2-97x+61=0

Senza fare grossi calcoli ci accorgiamo che:

36x^2-36x-61x+61=0

36x(x-1)-61(x-1)=0

(x-1)(36x-61)=0

Quindi avremo due possibilità per la legge di annullamento del prodotto:

  1. x-1=0 \rightarrow x=1
  2. 36x-61=0 \rightarrow x= \frac {61}{36}

La prima è accettabile, la seconda no… Si può fare la verifica sostituendo al posto dell’incognita il valore trovato.

 

  • \sqrt{x+\sqrt 2}=\frac {14-x^2}{\sqrt{x -\sqrt 2}}

Imponendo la condizione di esistenza x \neq \sqrt 2, otteniamo:

\sqrt{x+\sqrt 2} \sqrt{x-\sqrt 2}=14-x^2

\sqrt{x^2 - 2}=14-x^2

Elevando tutto al quadrato, imponendo la condizione di esistenza

    \[x \geq \sqrt 2,\]

aggiungendo anche che

    \[14-x^2 \geq 0 \Rightarrow -\sqrt {14} \leq x \leq \sqrt{14}\]

otteniamo:

x^2-2=196-28x^2+x^4

x^4-29x^2+198=0

Senza fare grossi calcoli ci accorgiamo che:

x^4-18x^2-11x^2+198=0

x^2(x^2-18)-11(x^2-18)=0

(x^2-18)(x^2-11)=0

Avremo due casi:

x^2=18

ma questa non ammetterà soluzioni accettabili…

x^2=11 \rightarrow x= \pm \sqrt{11}

da cui:

x= \sqrt {11} è l’unica soluzione accettabile.

  • \frac {2x}{\sqrt {x(3x+2)}}-3x - \sqrt {3x^2+2x}=0

Imponendo la condizione di esistenza x < -\frac 23 \quad \lor \quad x >0 otteniamo:

-3x \sqrt {3x^2+2x}-3x^2=0

3x(\sqrt {3x^2+2x}+x)=0

Sapendo che x \neq 0, otteniamo:

\sqrt{3x^2+2x}=-x

Elevando al quadrato avremo:

3x^2+2x=x^2

2x^2+2x=0

2x(x+1)=0

da cui

x=-1.

 

 

 

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