Chris scrive: Studio di funzione

Oggetto:

Corpo del messaggio:

    \[y=ln(x^2-x)\]

Dominio:

x^2-x > 0

x(x-1)>0

x<0 \quad \lor \quad x>1

D= \left (-\infty;0\right) \quad \cup \quad \left(1;+\infty\right).

Studiamo eventuali simmetrie:

f(-x)=ln(x^2+x) \neq f(x)

f(-x) \neq -f(x)

Quindi la funzione non è ne pari ne dispari.

Studiamo le intersezioni con l’asse delle ascisse, visto che dal dominio escludiamo ogni intersezione con l’asse delle ordinate.

\begin{cases} y= ln(x^2-x) \\ y=0 \end{cases}

\begin{cases}  ln(x^2-x)=0 \\ y=0 \end{cases}

\begin{cases}  x^2-x=1 \\ y=0 \end{cases}

\begin{cases}  x^2-x-1=0 \\ y=0 \end{cases}

\begin{cases}  x_{\frac 12}=\frac {1 \pm \sqrt {1+4}}{2}=\frac {1 \pm \sqrt 5}{2} \\ y=0 \end{cases}

Studiamo la positività della funzione, che, avendo studiato le intersezioni risulta abbastanza semplice, e quindi:

f(x)>0 \Rightarrow x< \frac {1 - \sqrt 5}{2} \quad \lor \quad x > \frac {1 + \sqrt 5}{2}

f(x)=0 \Rightarrow x= \frac {1 \pm \sqrt 5}{2}

f(x)<0 \Rightarrow \frac {1 - \sqrt 5}{2}<x<0 \quad \lor \quad 1<x<\frac {1 + \sqrt 5}{2}.

Calcoliamo i limiti negli estremi del dominio:

\lim_{x \to \infty} f(x)= +\infty

\lim_{x \to 0^-} f(x)= -\infty

\lim_{x \to 1^+} f(x)= -\infty

Non ci sono asintoti obliqui perchè:

\lim_{x \to \infty} \frac {f(x)}{x}=0

Calcoliamo la derivata prima:

y'=\frac {2x-1}{x^2-x}

Studiamo la positività della derivata prima ricordando che, nel dominio, il denominatore è sempre positivo; quindi :

y'>0 \Rightarrow x > \frac 12.

Da qui avremo che:

f(x) \mbox { crescente per } x>1

f(x) \mbox { decrescente per } x<0

Non ammetterà punti di massimo o di minimo.

Calcoliamo la derivata seconda:

y''=\frac {2(x^2-x)-(2x-1)(2x-1)}{(x^2-x)^2}=\frac {2x^2-2x-4x^2+4x-1}{(x^2-x)^2}=\frac {-2x^2+2x-1}{(x^2-x)^2}

Studiamo la positività della derivata prima ricordando che, nel dominio, il denominatore non sarà mai uguale a 0, quindi:

y''>0 \Rightarrow  -2x^2+2x-1>0 \Rightarrow 2x^2-2x+1<0

Ma il \Delta è negativo e quindi la disequazione non è mai verificata, e quindi in ogni intervallo del dominio la funzione avrà la concavità verso il basso.

Ecco il grafico:

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