Stefano scrive: Problema con equazione di secondo grado

Oggetto: problema con equazioni di secondo grado

Corpo del messaggio:
nel triangolo ABC si sa che BâC=30°, AB=3/5 AC, AB+AC=32a. Preso un punto P su AB, traccia l’altezza BD e da P la parallela a BD che incontri AC in H. Trova P in modo che : PD^2+2AH^2=124a^2

SOLUZIONE: PH=4a

 

Ricaviamo subito AB e AC:

\frac 35 AC+ AC=32a

\frac 85 AC=32a

AC=20a

da cui

AB=12a

Per costruzione, e sapendo che l’angolo in A misura 30^\circ, si ha che, ponendo AP=2x, con 0<x<6a:

PH=\frac 12 AP=x

AH=\sqrt 3 PH= x \sqrt 3

AD=\frac {\sqrt 3}{2} AB=\frac {\sqrt 3}{2}12a=6a\sqrt 3

HD=AD-AH=6a\sqrt 3 -x\sqrt 3.

Ricaviamo PD con il teorema di Pitagora:

PD^2=PH^2+HD^2=x^2+3(6a-x)^2=x^2+108a^2-36ax+3x^2=4x^2-36ax+108a^2

Abbiamo tutti i dati per l’equazione iniziale:

4x^2-36ax+108a^2+6x^2=124a^2

2x^2-18ax+54a^2+3x^2-62a^2=0

5x^2-18ax-8a^2=0

x_{\frac 12}=\frac {18a \pm \sqrt {324+160}a}{10}=\frac {18a \pm 22a}{10}

Essendo la misura di un lato definita positiva, escludiamo la soluzione negativa e otteniamo così:

x= \frac {18+22}{10}a=4a

da cui:

PH=4a

 

 

 

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