Archivi tag: equazioni di secondo grado

Patrizia scrive: Equazioni esponenziali 58

Oggetto: ESERCIZI SU EQUAZIONI ESPONENZIALI

Corpo del messaggio:
Ciao il 2 dicembre 2014 ho il compito in classe sulle equazioni esponenziali per esercitarvi il prof ci ha dato questi esercizi praticamente tutta la pag 52 potete aiutarmi a capirli magari risolvendo solo quelli con la x in modo che da poterli rifare da solo…..grazie

MATEMATICA

 

Risposta dello staff

  •  \SQRT 2 \CDOT \LEFT(\FRAC 12 \right)^{x+1}=1

2^{\frac 12} \CDOT 2^{-x-1}=2^0

\frac 12 - x-1=0

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Patrizia scrive: Equazioni esponenziali 49

Oggetto: ESERCIZI SU EQUAZIONI ESPONENZIALI

Corpo del messaggio:
Ciao il 2 dicembre 2014 ho il compito in classe sulle equazioni esponenziali per esercitarvi il prof ci ha dato questi esercizi praticamente tutta la pag 52 potete aiutarmi a capirli magari risolvendo solo quelli con la x in modo che da poterli rifare da solo…..grazie

MATEMATICA

Risposta dello staff

  •  2^x=32

2^x=2^5

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Patrizia scrive: Equazioni esponenziali 48

Oggetto: ESERCIZI SU EQUAZIONI ESPONENZIALI

Corpo del messaggio:
Ciao il 2 dicembre 2014 ho il compito in classe sulle equazioni esponenziali per esercitarvi il prof ci ha dato questi esercizi praticamente tutta la pag 52 potete aiutarmi a capirli magari risolvendo solo quelli con la x in modo che da poterli rifare da solo…..grazie

MATEMATICA

 

Risposta dello staff

  •  \frac 12=4^x

2^{-1}=2^{2x}

-1=2x

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Tommaso scrive: Equazione irrazionale

Oggetto: problema 486

Corpo del messaggio:

WP_000311

 

Risposta dello staff

a) Affinchè l’equazione non ammetta soluzioni reali deve succedere che 4-a^2 sia negativo, in quanto questo significherebbe eguagliare una radice, sempre positiva con un numero negativo. Quindi:

4-a^2 <0

a^2-4>0

a<-2 \quad \lor \quad a>2.

b) Per verificare che il risultato dell’equazione sia 2, basterà sostituire al valore della x il valore richiesto:

\sqrt {4-3}=4-a^2

1=4-a^2

a^2=3

a= \pm \sqrt 3

c) Stesso ragionamento del precedente:

\sqrt {28-3}=4-a^2

5=4-a^2

a^2=-1

Un quadrato non può mai essere uguale ad un numero negativo. Quindi non esiste nessun valore di a che verifichi la richiesta.

 

 

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Stefano scrive: Problema con equazione di secondo grado

Oggetto: problema con equazioni di secondo grado

Corpo del messaggio:
nel triangolo ABC si sa che BâC=30°, AB=3/5 AC, AB+AC=32a. Preso un punto P su AB, traccia l’altezza BD e da P la parallela a BD che incontri AC in H. Trova P in modo che : PD^2+2AH^2=124a^2

SOLUZIONE: PH=4a

 

Ricaviamo subito AB e AC:

\frac 35 AC+ AC=32a

\frac 85 AC=32a

AC=20a

da cui

AB=12a

Per costruzione, e sapendo che l’angolo in A misura 30^\circ, si ha che, ponendo AP=2x, con 0<x<6a:

PH=\frac 12 AP=x

AH=\sqrt 3 PH= x \sqrt 3

AD=\frac {\sqrt 3}{2} AB=\frac {\sqrt 3}{2}12a=6a\sqrt 3

HD=AD-AH=6a\sqrt 3 -x\sqrt 3.

Ricaviamo PD con il teorema di Pitagora:

PD^2=PH^2+HD^2=x^2+3(6a-x)^2=x^2+108a^2-36ax+3x^2=4x^2-36ax+108a^2

Abbiamo tutti i dati per l’equazione iniziale:

4x^2-36ax+108a^2+6x^2=124a^2

2x^2-18ax+54a^2+3x^2-62a^2=0

5x^2-18ax-8a^2=0

x_{\frac 12}=\frac {18a \pm \sqrt {324+160}a}{10}=\frac {18a \pm 22a}{10}

Essendo la misura di un lato definita positiva, escludiamo la soluzione negativa e otteniamo così:

x= \frac {18+22}{10}a=4a

da cui:

PH=4a

 

 

 

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Susanna scrive: Equazioni secondo grado

Oggetto: Equazioni secondo grado

Corpo del messaggio:
Sono solo gli esercizi segnati con il cerchio, ho provato a farli ma i risultati non danno!

Grazie in anticipo

image (4)

 

  • Affinchè l’equazione abbia radice uguale a \sqrt 2, basterà sostituire questo valore all’incognita e verificare quali siano i valori della a.

    \[2+\sqrt 2\left(a-2)\sqrt 2+a^2-3a-4=0\]

    \[2+2a-4+a^2-3a-4=0\]

    \[a^2-a-6=0\]

    \[(a-3)(a+2)=0\]

    \[a_1=3\]

    \[a_2=-2\]

  • Nel secondo esercizio, affinchè le due radici siano distinte, deve verificarsi che il delta sia strettamente positivo:

    \[\Delta >0\]

    \[16m^2-4(2m)(-4m-1)>0\]

    \[16m^2+32m+8m>0\]

    \[48m^2+8m>0\]

    \[m(6m+1)>0\]

Avendo l’equazione associata due soluzioni, ed essendo la disequazione maggiore di 0, possiamo subito dire che la disequazione sarà verificata per:

    \[m<-\frac 16 \quad \lor \quad m>0\]

  • Nel terzo esercizio, affinchè le due radici siano coincidenti, deve verificarsi che il delta sia nullo.

    \[\Delta=0\]

    \[(1-k)^2-4(k+1)(k-1)=0\]

    \[k^2-2k+1-4k^2+4=0\]

    \[-3k^2-2k+5=0\]

    \[3k^2+2k-5=0\]

    \[k_{\frac 12}=\frac {-2\pm \sqrt {4+60}}{6}=\frac {-2\pm \sqrt {64}}{6}=\frac {-2\pm 8}{6}\]

    \[k_1=-\frac 53\]

    \[k_2=1\]

Dobbiamo però escludere la soluzione k=1, in quanto, sostituendola nell’equazione iniziale, questa perderebbe di significato, perchè annullerebbe il coefficiente della x^2.

 

 

 

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Laura scrive: Esercizio equazioni

Oggetto: Equazioni

Corpo del messaggio:
Sono due esercizi

image (6)

 

 

Risposta dello staff

  • Determina i valori di k in modo che l’equazione x^2-2(k-1)x+k^2+2k=0 abbia radici reali.

Affinchè abbia radici reali, basterà imporre la positività del \Delta.

 

    \[\Delta=b^2-4ac=4(k-1)^2-4(k^2+2k)=4k^2-8k+4-4k^2-8k=-16k+4.\]

Quindi dovremo studiare:

    \[-16k+4 \geq 0 \Rightarrow 16k \leq 4 \Rightarrow k \leq \frac 14.\]

 

  • Determina per quale valore del parametro kk l’equazione \frac 23 (k-1)x+ \frac {k+1}{6}y=1 ammette come soluzione la coppia x=6 \quad \wedge  \quad y=4.

Sostituiamo i valori delle incognite date dalla traccia nell’equazione, così da ottenere:

    \[\frac 23 (k-1)6+ \frac {k+1}{6}4=1\]

    \[4k-4+ \frac 23 (k+1)=1\]

    \[12k-12+ 2k+2=3\]

    \[14k=3+10\]

    \[14k=13\]

    \[k=\frac {13}{14}.\]

 

 

 

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Samuele scrive: Esercizio sul valore assoluto

Oggetto: Equazioni con valore assoluto

Corpo del messaggio:

1)\frac { \left|2x^2-3x+1\right|}{x-2}=1

 

Risposta dello staff

Imponendo che x \neq 2, otteniamo:

\left|2x^2-3x+1\right|=x-2

Quindi avremo da risolvere due sistemi:

\begin{cases} 2x^2-3x+1=x-2 \\ x \geq 2 \end {cases} \quad \quad \begin{cases} 2x^2-3x+1=2-x \\ x < 2 \end {cases}

\begin{cases} 2x^2-4x+3=0 \\ x \geq 2 \end {cases} \quad \quad \begin{cases} 2x^2-2x-1=0\\ x < 2 \end {cases}

\begin{cases} x_{\frac 12}= \frac {4 \pm \sqrt {16-24}}{4} \\ x \geq 2 \end {cases} \quad \quad \begin{cases} x_{\frac 12}= \frac {2 \pm \sqrt {4+8}}{4} \\ x < 2 \end {cases}

\begin{cases} \mbox { impossibile } \Delta <0 \\ x \geq 2 \end {cases} \quad \quad \begin{cases} x_{\frac 12}= \frac {2 \pm 2\sqrt {2}}{4} \\ x < 2 \end {cases}

\begin{cases} \mbox { impossibile } \Delta <0 \\ x \geq 2 \end {cases} \quad \quad \begin{cases} x_{\frac 12}= \frac {1 \pm \sqrt {2}}{2} \\ x < 2 \end {cases}

Il secondo sistema ammetterà ambedue le soluzioni, poichè \frac {1+\sqrt 2}{2}<2.

Quindi l’equazione avrà come soluzioni:

    \[x_{\frac 12}= \frac {1 \pm \sqrt {2}}{2}.\]

 

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Alessio scrive: Esercizio disequazione di secondo grado

Oggetto:

Corpo del messaggio:
4x+5-x^2(x+2)<0

4x+5-x^3-2x^2<0

x^3 +2x^2-4x-5>0

Con Ruffini

1 2 -4 -5
-1 -1 -1 5
1 1 -5 0

 

notiamo che questo polinomio è divisibile per x+1, così da ottenere:

(x+1)(x^2+x-5)>0

Da cui:

x+1 >0 \iff x>-1

e

x^2+x-5>0

x_{\frac 12}=\frac {-1 \pm \sqrt {1+20}}{2}=\frac {-1 \pm \sqrt {21}}{2}.

da cui:

x<\frac {-1 - \sqrt {21}}{2} \quad \lor \quad x>\frac {-1 + \sqrt {21}}{2}.

Facendo la tabella noteremo che la disequazione sarà verificata per:

\frac {-1 - \sqrt {21}}{2} -1 \frac {-1 - \sqrt {21}}{2}
—– —— —- —– ++++ +++++ +++++
+++++ —– —- —- —– —— +++++
—– +++++ +++++ +++++ —- —– +++++

    \[\frac {-1 - \sqrt {21}}{2}<x<-1 \quad \lor \quad x>\frac {-1 + \sqrt {21}}{2}.\]

 

 

 

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Samuele scrive: Esercizio Equazioni di grado superiore al secondo

Uno studente scrive:

Oggetto: Equazioni di grado superiore al secondo

Corpo del messaggio:
a)(x^3-1)(x^2+6x)=0
b) x^2(x-6)=4(2-3x)
c) x^2(2x-3)=4(2x-3)

 

Risposta dello staff

a) Per svolgere questa equazione, utilizziamo la legge di annullamento del prodotto, e quindi analizziamo i due prodotti singolarmente, magari dopo averla scomposta ulteriormente:

(x^3-1)(x^2+6x)=(x-1)(x^2+x+1)

e

x^2+6x=x(x+6)

Quindi avremo:

x(x-1)(x^2+x+1)(x+6)=0

  • x=0
  • x=1
  • x^2+x+1 non ammetterà soluzioni poichè il \Delta<0
  • x=-6

 

 

b) Per capire meglio questa è necessario svolgere prima i calcoli:

x^2(x-6)=4(2-3x)

x^3-6x^2=8-12x

x^3-6x^2+12x-8=0

(x-2)^3=0

Questa ammetterà un’unica soluzione:

x=2

 

 

c) Per capire meglio questa è necessario svolgere prima i calcoli:

x^2(2x-3)=4(2x-3)

2x^3-3x^2=8x-12

2x^3-3x^2-8x+12=0

Utilizziamo Ruffini per scomporre e otteniamo:

2 -3 -8 12
2 4 2 -12
2 1 -6 0

da cui

(x-2)(2x^2+x-6)=0

(x-2)(2x-3)(x+2)=0

Quindi ammetterà come soluzioni:

  • x=2
  • x=\frac 32
  • x=-2

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Francesca scrive: Equazioni

Una studentessa scrive:

Nell’ equazione 2kx^2+(m-1)x+k+2m=0, k è diverso da 0, trova k e m sapendo che la somma delle soluzioni è uguale al loro prodotto e che una soluzione vale 2.

 

 

Risposta dello staff

Per risolvere questo bisognerà risolvere un sistema imponendo le condizioni che:

  • -\frac ba = \frac ca
  • x=2

Andiamo a risolvere il sistema:

\begin {cases}  -\frac {m-1}{2k} =\frac {k+2m}{2k} \\  8k+2m-2+k+2m=0 \end {cases}

\begin {cases}  1-m =k+2m \\  9k+4m-2=0 \end {cases}

\begin {cases}  k+3m=1  \\  9k+4m=2 \end {cases}

\begin {cases}  k=1-3m  \\  9(1-3m)+4m=2 \end {cases}

\begin {cases}  k=1-3m  \\  9-27m+4m=2 \end {cases}

\begin {cases}  k=1-3m  \\  -23m=7 \end {cases}

\begin {cases}  k=1-3 \cdot (-\frac{7}{23}) \\  m=-\frac{7}{23}  \end {cases}

\begin {cases}  k=1+\frac{21}{23} \\  m=-\frac{7}{23}  \end {cases}

\begin {cases}  k=\frac{44}{23} \\  m=-\frac{7}{23}  \end {cases}

 

 

 

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Nicola scrive: esercizio parametriche

Per ogni equazione parametrica nell’ incognita x determina i valori del parametro relativi alle condizioni poste.

(1+k)x^2-2x-k+1=0  \mbox{  con  } k \neq -1

a) le radici sono discordi
b) p=8
c) s>0

 

a) Affinchè le radici siano discordi deve accadere che:

\frac ca <0

Quindi:

\frac {1-k}{k+1}<0

\frac {k-1}{k+1}>0

Senza bisogno di grossi calcoli avremo subito che questa sarà verificata per:

k<-1 \quad \lor \quad k>1.

 

b) p=8

Affinchè il prodotto delle radici sia uguale a 8 deve accadere che:

\frac ca =8

\frac {1-k}{k+1}=8

\frac {1-k}{k+1}-8=0

\frac {1-k-8k-8}{k+1}=0

-9k-7=0

9k=-7

k=-\frac 79

c) s > 0

Affinchè la somma delle radici sia positiva deve accadere che:

- \frac ba >0

Quindi:

\frac {2}{1+k}>0

Senza bisogno di grossi calcoli otteniamo subito:

k > -1.

 

 

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Andrea scrive: Esercizio parametriche

Uno studente scrive

Corpo del messaggio:
Per ogni equazione parametrica nell’ incognita x determina i valori del parametro relativi alle condizioni poste.

kx^2-(2k-1)x+k-3=0  \mbox{  con  } k \neq  0

La somma delle radici è minore di 2

 

 

Risposta dello staff

Affinchè la somma delle radici sia minore di 2 deve accadere che:

-\frac ba <2

Quindi:

\frac {2k-1}{k}<2

\frac {2k-1}{k}-2<0

\frac {2k-1-2k}{k}<0

\frac {-1}{k}<0

Quindi si avrà soluzione solo per k>0.

 

 

 

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Jessica chiede: Esercizio equazioni di secondo grado

Una studentessa chiede

Oggetto: equazioni di secondo grado

Corpo del messaggio:
3 x alla secoda meno 2 uguale a 0

 

Risposta dello staff

3 x^2 - 2 = 0

Essendo un’equazione di secondo grado pura, si può risolvere senza bisogno di applicare la formula di risoluzione, quindi:

3x^2=2

x^2=\frac 23

x= \sqrt {\frac 23}

x=\frac {\sqrt 6}{3}

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Barbara chiede: esercizi equazioni di secondo grado

Una studentessa scrive:

Corpo del messaggio:
1) Per ogni equazionedi secondo grado nell’ incognita x determina i valori del parametro k tali che sa soddisfatta la condizione scritta a fianco riguardante la somma S delle radici.

A) 5kx^2-2(k-1)x+\frac 15 k=0 \quad \quad \quad     \mbox{radici opposte}

B) x^2-2(k+1)x+4k=0  \quad \quad \quad                  S>10

 

 

 

Risposta dello Staff

 

A) Innanzitutto calcoliamo il \Delta:

\Delta=4(k-1)^2-4k^2=4k^2-8k+4-4k^2=-8k+4

Imponiamo che sia positivo, affinchè l’equazione ammetta valori reali:

-8k+4 \geq 0 \Rightarrow k \leq \frac 12

 

Affinchè le due radici siano opposte, deve succedere che la somma delle radici dia 0, e quindi:

-\frac ba=0 \Rightarrow \frac {2(k-1)}{5k}=0 \Rightarrow k=1

Ma questa soluzione non è accettabile in quanto, andando a sostituire avremmo:

5x^2+\frac 15=0,

e il \Delta sarebbe negativo, e non ammetterebbe soluzioni reali.

 

 

B) Innanzitutto calcoliamo il \Delta:

\Delta=4(k-1)^2-16k=4k^2-8k+4-16k=4k^2-24k+4

Imponiamo che sia positivo, affinchè l’equazione ammetta valori reali:

k^2-6k+1 \geq 0 \Rightarrow k \leq \frac {6-\sqrt 4{2}}{2} \quad \lor \quad k \geq \frac {6+4\sqt 2}{2}

 

Affinchè le due radici sommate tra di loro diano un numero maggiore di 10, deve verfiicarsi che:

-\frac ba>10

2(k+1)>10

2k+2>10

2k>8

k>4

Facendo l’intersezione con le possibilità di avere radici reali, la soluzione sarà:

k \geq \frac {6+4\sqrt 2}{2}

2) Per ogni equazione parametrica nel’ incognita x determina i valori del parametro affinchè le radici siano reali e siano soddisfatte le condizioni scritte sotto. Ilprodotto delle radici è indicato con P

1) (k-2)x^2-2kx+k-3=0

Innanzitutto calcoliamo la positività del \Delta per studiare gli intervali ove l’equazione può ammettere soluzioni reali:

\Delta=4k2^-4(k-3)(k-2)=4k^2-4k^2+8k+12k-24=20k-24

\Delta \geq 0 \Rightarrow k \geq 65
a) le radici sono reciproche

Affinchè le due radici siano reciproche deve verificarsi che:

\frac ca =1

\frac {k-3}{k-2}=1

\frac {k-3}{k-2}-1=0

\frac {k-3-k+2}{k-2}=0

\frac {-1}{k-2}=0

Quindi l’equazione sarà impossibile; non si verificherà mai.

b) P=-1

\frac ca =-1

\frac {k-3}{k-2}=-1

\frac {k-3}{k-2}+1=0

\frac {k-3+k-2}{k-2}=0

2k-5=0

k=\frac 52 che è soluzione accettabile

c) P>1/2

\frac ca > \frac 12

\frac {k-3}{k-2}>\frac 12

\frac {k-3}{k-2}-\frac 12>0

\frac {2k-6-k+2}{k-2}>0

\frac {k-4}{k-2}>0

Senza fare il grafico, questa è verificata per

k<2 \quad \lor \quad k >4

E quindi questa sarà verificata per:

\frac 65 \leq x >2 \quad \lor \quad k>4.

 

 

 

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Enrica scrive: Esercizio con le radici

Una studentessa scrive:

radice di2x-4+radicedi18x=radicedi2

 

Risposta dello staff di Matebook

Supponendo sia così:

\sqrt{2x-4}+ \sqrt{18x}=\sqrt {2}

 

Risolviamo:

Essendo le radici già isolate, possiamo elevare subito al quadrato dopo aver verificato le condizioni di esistenza.

\begin {cases} 2x-4 \geq 0 \\ 18x \geq 0 \end{cases}

\begin {cases} x \geq 2 \\ x \geq 0 \end{cases}

Quindi, affinchè siano verificate entrambe deve succedere che:

x \geq 0.

Eleviamo ora tutto al quadrato:

2x-4+18x+2\sqrt {36x^2-72x}= 2

2\sqrt {36x^2-72x}= 6-20x

\sqrt {36x^2-72x}= 3-10x

Elevando nuovamente al quadrato otteniamo:

36x^2-72x=9-60x+100x^2

64x^2+12x+9=0

Da questa avremo due soluzioni:

x=-2 non accettabile, e

x=3 accettabile.

 

 

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