Leonardo scrive: Disequazioni con moduli

Oggetto: Disequazioni con moduli

Corpo del messaggio:
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  • \frac {\left|x\right|}{x}<x

\frac {\left|x\right|}{x}-x<0

\frac {\left|x\right|-x^2}{x}<0

Studiamo due casi:

    \[\begin{cases} x > 0 \\ \frac {x -x^2}{x}<0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x < 0 \\ \frac {-x -x^2}{x}<0\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x > 0 \\ 1-x<0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}x < 0 \\ \-1-x<0\end{cases}\]

    \[\begin{cases} x > 0 \\ x>1 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x < 0 \\ \x>-1\end{cases}\]

Il primo sistema ammetterà come soluzione x>1, mentre il secondo -1<x<0.

  • \frac {1}{\left|2x-3 \right|}<3

Studiamo due casi:

    \[\begin{cases} x > \frac 32 \\ \frac {1}{2x-3}<3 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}  x < \frac 32 \\ \frac {1}{3-2x}<3 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x > \frac 32 \\ \frac {1}{2x-3}-3<0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}  x < \frac 32 \\ \frac {1}{3-2x}-3<0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x > \frac 32 \\ \frac {1-6x+9}{2x-3}<0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}  x < \frac 32 \\ \frac {1-9+6x}{3-2x}<0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x > \frac 32 \\ -6x+10<0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}  x < \frac 32 \\ 6x-8<0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x > \frac 32 \\ x>\frac 53 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}  x < \frac 32 \\ x<\frac 43 \end{cases}\]

Il primo sistema ammetterà come soluzione x>\frac 53, mentre il secondo x<\frac 43.

  • \frac {2}{x+3}<\frac {3}{\left|x-2 \right|}

Studiamo due casi:

    \[\begin{cases} x > 2 \\ \frac {2}{x+3}<\frac {3}{x-2 } \end{cases} \quad \quad \begin{cases}  x < 2 \\ \frac {2}{x+3}<\frac {3}{2-x } \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x > 2 \\ \frac {2}{x+3}-\frac {3}{x-2 }<0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}  x < 2 \\ \frac {2}{x+3}-\frac {3}{2-x }<0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x > 2 \\ \frac {2x-4-3x-9}{(x+3)(x-2)}<0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}  x < 2 \\ \frac {4-2x-3x-9}{(x+3)(2-x)}<0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x > 2 \\ \frac {-x-13}{(x+3)(x-2)}<0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}  x < 2 \\ \frac {-5x-5}{(x+3)(2-x)}<0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x > 2 \\ \frac {x+13}{x+3}>0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}  x < 2 \\ \frac {5x+5}{x+3}>0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x > 2 \\ x<-13 \quad \lor \quad x>-3 \end{cases} \quad \quad \begin{cases}  x < 2 \\ x<-3 \quad \lor \quad x>-1 \end{cases}\]

 

Quindi, il primo sistema è verificato per x>2, mentre il secondo per x<-3 \quad \lor \quad -1<x<2

 

  • \left|3x+2 \right| > \left|x-5 \right|

Studieremo 3 casi:

\begin {cases} x \leq  -\frac 23 \\-2-3x > 5-x \end {cases}

\begin {cases} x \leq  -\frac 23 \\2x<-7 \end {cases}

\begin {cases} x \leq  -\frac 23 \\x < -\frac 72 \end {cases}

Che ammetterà come soluzione x<-\frac 72.

\begin {cases} -\frac 23 < x < 5 \\3x+2 > 5-x \end {cases}

\begin {cases} -\frac 23 < x < 5 \\4x >3 \end {cases}

\begin {cases} -\frac 23 < x < 5 \\x >\frac 34 \end {cases}

Che ammetterà come soluzione \frac 34 < x<5.

\begin {cases} x \geq 5 \\ 3x+2 > x-5 \end {cases}

\begin {cases} x \geq 5 \\ 2x > -7 \end {cases}

\begin {cases} x \geq  5 \\x > -\frac 72 \end {cases}

Che ammetterà come soluzione x \geq 5.

Unendo le tre soluzioni otteniamo: x<-\frac 72 \quad \lor \quad x>\frac 34.

 

  • \frac {1}{\left|x-3 \right|}= \frac 32

\begin{cases} x>3 \\ \frac {1}{x-3 } - \frac 32=0  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x<3 \\ \frac {1}{3-x } - \frac 32=0  \end{cases}

\begin{cases} x>3 \\ \frac {2-3x+9}{x-3 }=0  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x<3 \\ \frac {2-9+3x}{3-x }=0  \end{cases}

\begin{cases} x>3 \\ x=\frac {11}{3}  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x<3 \\ x=\frac 73  \end{cases}

Le soluzioni sono ambedue accettabili.

 

 

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8 pensieri su “Leonardo scrive: Disequazioni con moduli”

  1. L’esercizio n. 4 si poteva anche risolvere elevando ambo i membri al quadrato e poi risolvendo la disequazione di secondo grado?

    Distinti saluti

  2. Chiaramente si. Ma non sapendo se chi affronta l’esercizio ha già studiato le disequazioni di secondo grado, ho preferito risolvere tutto con disequazioni di primo grado.

  3. In merito all’esercizio n.1, vorrei sapere se è corretto risolverlo nel seguente modo:

    Essendo nel 1° sistema x>0 la seconda disequazione si poteva semplificare in

    x/x1 per cui il 1° sistema ha come soluzione x>1.
    Invece nel 2°sistema, siccome x<0, si ha:

    -x/x-1 per cui il 2° sistema ha come soluzione -1<x<0. Unendo le due soluzioni si ottiene il risutato finale.

  4. In merito al 1° esercizio riscrivo le disequazioni che forse non sono visualizzate bene:
    Nel 1° sistema la seconda disequazione si poteva semplificare in

    x/x minore di x cioè x maggiore di 1 per cui il 1° sistema ha come soluzione x>1

    Invece nel 2°sistema,……:

    -x/x minore di x cioè x maggiore di meno 1 per cui il secondo sistema ha come soluzione -1<x<0.
    Unendo le due soluzioni si ottiene il risutato finale.

    1. Si si…è esattamente quello che ho fatto… ma se hai visto bene mancava il pezzo iniziale nella seconda disequazione….

      Lo rendo visibile così vedrai che è svolto esattamente nello stesso modo.

      Prima ho tolto il modulo, e poi semplificato.

  5. Riguardo al 2°esercizio, si poteva anche riscriverlo nella forma:

    Modulo di 2x-3 maggiore di 1/3 e quindi risolvere

    2x-3 minore di meno 1/3 e 2x-3 maggiore di 1/3 senza fare i sistemi.

    Grazie

    1. Si. Però se fai una cosa del genere, poi devi stare attento a ricordarti ( non è questo il caso), che nel caso fosse uscito come risultato accettabile anche x=2/3, sarebbe stato da escludere…

      Se tu consideri solo modulo di 2x-3 maggiore di 1/3 rischi (ripeto, non è questo il caso) di considerare una soluzione che renderebbe la disequazione priva di significato.

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