Fabio scrive: Problemi sull’iperbole

Pubblicato il 26 Marzo 2014 da Lo StaffLascia un commento

Oggetto: Problemi sull’iperbole

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Risposta dello staff

47)

La generica retta avrà equazione $y=2x+q$ .

a) Affinchè intersechi l’iperbole in 2 punti dovremo verificare la positività del $\Delta$ , una volta sviluppata l’equazione:

$x^2-\frac {(2x+q)^2}{3}=1$

$3x^2-4x^2-4qx-q^2-3=0$

$x^2+4qx+q^2+3=0$

$\Delta=16q^2-4q^2-12=12q^2-12$

Ricaviamo la positività del $\Delta$ e otteniamo:

$12q^2-12 >0$

$q^2-1>0$

da cui:

$q <-1 \quad \lor \quad q>1$ .

b)

Affinchè siano tangenti basta imporre $\Delta=0$ , e quindi $q=\pm 1$ .

c)

Affinchè siano esterne la condizione è l’opposta della a), e quindi $-1<q<1$ .

48)

Il fascio di rette passante per C è:

$y=mx-m$

Affinchè intersechi l’iperbole in 2 punti dovremo verificare la positività del $\Delta$ , una volta sviluppata l’equazione:

$\frac {x^2}{3}-\frac {(mx-m)^2}{5}=-1$

$5x^2-3m^2x^2+6m^2x-3m^2+15=0$

$x^2(5-3m^2)+6m^2x-3m^2+15=0$

$\Delta=36m^4-4(5-3m^2)(15-3m^2)=36m^4-300+60m^2+180m^2-36m^4=240m^2-300$

Ricaviamo la positività del $\Delta$ e otteniamo:

$240m^2-300 >0$

$4m^2-5>0$

da cui:

$m <-\frac {\sqrt 5}{2} \quad \lor \quad m>\frac {\sqrt 5}{2}$ .

b)

Affinchè siano tangenti basta imporre $\Delta=0$ , e quindi $m=\pm \frac {\sqrt 5}{2}$ .

c)

Affinchè siano esterne la condizione è l’opposta della a), e quindi $-\frac {\sqrt 5}{2}<m<\frac {\sqrt 5}{2}$ .

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