Fabio scrive: Problemi sull’iperbole

Oggetto: Problemi sull’iperbole

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CAM00282

Risposta dello staff

47)

La generica retta avrà equazione y=2x+q.

a) Affinchè intersechi l’iperbole in 2 punti dovremo verificare la positività del \Delta, una volta sviluppata l’equazione:

x^2-\frac {(2x+q)^2}{3}=1

3x^2-4x^2-4qx-q^2-3=0

x^2+4qx+q^2+3=0

\Delta=16q^2-4q^2-12=12q^2-12

Ricaviamo la positività del \Delta e otteniamo:

12q^2-12 >0

q^2-1>0

da cui:

q <-1 \quad \lor \quad q>1.

b)

Affinchè siano tangenti basta imporre \Delta=0, e quindi q=\pm 1.

c)

Affinchè siano esterne la condizione è l’opposta della a), e quindi -1<q<1.

48)

Il fascio di rette passante per C è:

y=mx-m

Affinchè intersechi l’iperbole in 2 punti dovremo verificare la positività del \Delta, una volta sviluppata l’equazione:

\frac {x^2}{3}-\frac {(mx-m)^2}{5}=-1

5x^2-3m^2x^2+6m^2x-3m^2+15=0

x^2(5-3m^2)+6m^2x-3m^2+15=0

\Delta=36m^4-4(5-3m^2)(15-3m^2)=36m^4-300+60m^2+180m^2-36m^4=240m^2-300

Ricaviamo la positività del \Delta e otteniamo:

240m^2-300 >0

4m^2-5>0

da cui:

m <-\frac {\sqrt 5}{2} \quad \lor \quad m>\frac {\sqrt 5}{2}.

b)

Affinchè siano tangenti basta imporre \Delta=0, e quindi m=\pm \frac {\sqrt 5}{2}.

c)

Affinchè siano esterne la condizione è l’opposta della a), e quindi -\frac {\sqrt 5}{2}<m<\frac {\sqrt 5}{2}.

 

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